专题04 立体几何-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练-在线组卷

1. (2023·台州模拟) 已知三棱柱 $\text{[math]}$ 棱长均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成夹角的余弦值.

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2. (2023·嘉兴模拟) 如图，在三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若四面体 $\text{[math]}$ 的体积为2，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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3. (2023·宁波模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面ABCD；
（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求BC的长．

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4. (2023·金华模拟) 如图，在圆台 $\text{[math]}$ 中，圆 $\text{[math]}$ 的半径是1，圆 $\text{[math]}$ 的半径是2，高是 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ， PC是圆台的一条母线．

（1）求三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值．

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5. (2023·黄浦模拟) 如图，多面体 $\text{[math]}$ 是由棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 沿平面 $\text{[math]}$ 截去一角所得到，在棱 $\text{[math]}$ 上取一点E，过点 $\text{[math]}$ ， C，E的平面交棱 $\text{[math]}$ 于点F．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求点E到平面 $\text{[math]}$ 的距离以及 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小．

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6. (2023·金山模拟) 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的大小；
（2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

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7. (2023·浦东模拟) 如图，三角形 $\text{[math]}$ 与梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

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8. (2023·梅州模拟) 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点Q，使得AQ⊥平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由：
（2）求点C到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

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9. (2023·茂名模拟) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

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10. (2023·闵行模拟) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在线段AB上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P－CE－A的余弦值．

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11. (2023·虹口模拟) 如图，在圆锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面的直径， $\text{[math]}$ 是底面圆周上的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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12. (2023·静安模拟) 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）求五面体ABCDEF的体积；
（2）若M为EC的中点，求证：平面 $\text{[math]}$ 平面AMD.

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13. (2023·长春模拟) 如图，平面五边形 $\text{[math]}$ 中，△ $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将△ $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 翻折到点 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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14. (2023·广安模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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15. (2023·宜宾模拟) 圆柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为过轴 $\text{[math]}$ 的截面， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为底面圆 $\text{[math]}$ 的内接正三角形， $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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16. (2023·杭州模拟) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

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17. (2023·红河模拟) 如图，在几何体 $\text{[math]}$ 中，菱形 $\text{[math]}$ 所在的平面与矩形 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直．

（1）若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，证明： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

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18. (2023·温州模拟) 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 中，△ $\text{[math]}$ 是边长为3的正三角形， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正弦值．

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19. (2023·崇明模拟) 如图，已知点P在圆柱 $\text{[math]}$ 的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

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20. (2023·广西模拟) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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21. (2023·蚌埠模拟) 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的大小.

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22. (2023·深圳模拟) 已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，底面边长为2，D为AB的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
（3）求直线CA与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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23. (2023·吉林模拟) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均是等腰梯形，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ．若存在，请确定点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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24. (2023·柳州模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

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25. (2023·南宁模拟) 如图1，平面图形 $\text{[math]}$ 是一个直角梯形，其中 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折起使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，如图2.

（1）证明：在图2中 $\text{[math]}$ 四点共面，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）在图2中，若 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值取得最大值时，求 $\text{[math]}$ 的长.

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26. (2023·宣城模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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27. (2023·广东模拟) 如图所示的在多面体中， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 中点.

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

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28. (2023·桂林模拟) 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值.

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29. (2023·包头模拟) 如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 是圆柱的轴截面， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 与下底面所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的面积为12， $\text{[math]}$ 为圆柱的一条母线（不与 $\text{[math]}$ 重合）．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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30. (2023·抚顺模拟) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是正方形，点P，Q在侧棱 $\text{[math]}$ 上，E是侧棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）若 $\text{[math]}$ ，证明：BE∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若每条侧棱的长都是底面边长的 $\text{[math]}$ 倍，从下面两个条件中选一个，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
① $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；②P为 $\text{[math]}$ 的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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31. (2023·邯郸模拟) 如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点， $\text{[math]}$ ．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形 $\text{[math]}$ 处，使得 $\text{[math]}$ ，如图2，G在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面DFG；
（2）求平面DFG与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值

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32. (2023·唐山模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 和侧面 $\text{[math]}$ 均为正方形， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为30°，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

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33. (2023·张家界模拟) 如图，已知三棱柱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， D为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

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34. (2023·湖北模拟) 如图，在斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，侧面 $\text{[math]}$ 为菱形，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积；
（2）设点P为侧棱 $\text{[math]}$ 上一动点，当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的取值范围．

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35. (2023·邵阳模拟) 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E，F，G分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的正切值．

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36. (2023·河南模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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37. (2023·湖南模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.

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38. (2023·绍兴模拟) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，证明；点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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39. (2023·安庆模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 是等边三角形，侧面 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的余弦值.

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40. (2023·赣州模拟) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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