备考浙教版中考数学题型专项训练二次函数解答题专练-在线组卷

1. (2022·慈溪模拟) 如图1，在⊙O中，M为弦AB的中点，过点M作直径CD，E为线段OM上一点，连结AE并延长交⊙O于点F，连结BF，AE=BF.

（1）证明：AC＝BF.
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ .
（3）如图2，连结CF交AB于点G，当CD＝2时，设EM＝x， $\text{[math]}$ ，求y关于x的函数解析式，并确定y的最大值.

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2. (2022·平房模拟) 在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点．抛物线 $\text{[math]}$ 分别交x轴于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，交y轴于点C．

（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为抛物线第二象限上的点，连接BP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，CD的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F、N分别在BD、OA上，连接NF，且 $\text{[math]}$ ，点E在OC上，连接NE、FE， $\text{[math]}$ ，点K在FN上，且 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求点P坐标．

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3. (2022·东营模拟) 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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4. (2022·西山会考) 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点 $\text{[math]}$ ，抛物线的最低点的坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）求出该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，线段BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD线段，CD与抛物线相交于点E，求点E的坐标．
（3）如图2，点M，N是线段AC上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求△OMN周长的最小值．

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5. (2022·信都模拟) 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x² $\text{[math]}$ bx+c与直线l₁：y＝﹣x+1交于点A，且点A的横坐标为﹣4，设抛物线的顶点为M，点N(0，n)是y轴上一点，过点N作直线l₂ $\text{[math]}$ x轴．

（1）请用含b的代数式表示c；
（2）若直线l₂在点M的上方，且点M到直线l₂的距离为2，求n的最大值；
（3）若点B在直线l₁上，且点B的横坐标为﹣2，点C( $\text{[math]}$ ， 3)，若抛物线L与线段BC有公共点，结合图像，直接写出b的取值范围．

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6. (2022·泗县模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的交点．

（1）求抛物线的解析式和 $\text{[math]}$ 点坐标；
（2）点 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式（指出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围）和 $\text{[math]}$ 的最大值．

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7. (2022·威海模拟) 如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．

（1）填空：点A的坐标为，点D的坐标为，抛物线的解析式为．
（2）当二次函数y=x²+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为 $\text{[math]}$ ，求m的值；

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8. (2022·高安模拟) 定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F₁ ，函数l的图象未翻折的部分记作F₂ ，图象F₁和F₂合起来记作图象F．

例如：函数l的解析式为y＝x²﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x²+3（x＜1）．

（1）如图，函数l的解析式为y＝﹣ $\text{[math]}$ x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝．
（2）函数l的解析式为y＝﹣ $\text{[math]}$ ，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x²﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．

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9. (2022·济南模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y $\text{[math]}$ bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求点P的坐标和 $\text{[math]}$ 的最大值；
（3）把抛物线y $\text{[math]}$ bx+c沿射线AC方向平移 $\text{[math]}$ 个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．

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10. (2022九下·重庆月考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点A的坐标；
（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为 $\text{[math]}$ ，△AEO的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线的顶点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标.

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11. (2022·珠海模拟) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A(4，3)，对称轴是直线 $\text{[math]}$ =2，顶点为B．抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点C，连接AC，过点A作AD⊥ $\text{[math]}$ 轴于点D，点E是线段AC上的动点(点E不与A、C两点重合)．

（1）求抛物线的函数解析式和顶点B的坐标；
（2）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两个四边形，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在 $\text{[math]}$ 轴上的同时点F也恰好落在抛物线上?若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．

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12. (2021·郑州模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（其中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），且 $\text{[math]}$ .

（1）抛物线的对称轴是.
（2）求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 坐标.
（3）点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若抛物线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 恰有一个交点，求 $\text{[math]}$ 的取值

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13. (2021九上·诸暨期末) 如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点记为 $\text{[math]}$ ，且经过 $\text{[math]}$ 的三个顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴下方）.抛物线 $\text{[math]}$ 也交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其顶点为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 点的坐标和抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 的坐标.
（2）当 $\text{[math]}$ 的值最小时，求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式.
（3）设点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 $\text{[math]}$ 是与 $\text{[math]}$ 相似的三角形，求抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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14. (2022·台州模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F.

（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. (2021·常州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y $\text{[math]}$ x²+bx﹣2的图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C.

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB＝∠BCO，求点P的坐标；
（3）若点Q在第四象限内，且tan∠AQB $\text{[math]}$ ， M（﹣2，1），线段MQ是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.

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16. (2022九下·哈尔滨开学考) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴于点C，连接AC，且 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，连接BP交y轴于点D，设点P横坐标为t，线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在线段OB上，且 $\text{[math]}$ ，连接DE，F在y轴正半轴上，连接BF交抛物线于点G， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点G的坐标．

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17. (2021九上·鹿城期末) 如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x²+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连接OB.点P为抛物线上AB上方的一个点，连接PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q.

（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标.

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18. (2022·葫芦岛模拟) 小明购进一些糖果，把这些糖果进行包装后销售，包装后每千克售价为30元，已知购进糖果的总价 $\text{[math]}$ （元）与数量x（千克）之间满足如图所示的二次函数 $\text{[math]}$ ，这些糖果的包装总费用 $\text{[math]}$ （元）与数量x（千克）满足一次函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 与x之间的函数关系式；
（2）若小明购进的糖果不少于8千克且不多于10千克，他最多能获得多少利润？最少能获得多少利润？

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19. (2022九下·舟山月考) 某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可缩短养殖周期，即从原来的每年养殖两季提高至每年三季，已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下：

$\text{[math]}$

日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如右图所示：

（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；
（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）在实际销售的前40天（1≤t≤40，t为整数）中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠m（m＜8）元给公益事业．在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.

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20. (2021九上·乾安期中) 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

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21. (2018九上·云安期中) 如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，对称轴交x轴于点M．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．

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22. (2017·长春模拟)

如图，抛物线l₁：y=x²﹣4的图象与x轴交于A，C两点，抛物线l₂与l₁关于x轴对称．

（1）直接写出l₂所对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线l₂上的动点（B与A，C不重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：D点在l₂上．
（3）当点B位于l₁在x轴下方的图象上，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它面积的最值；若不存在，请说明理由．

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23. (2021·安顺) 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\text{[math]}$ 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\text{[math]}$ ，桥拱顶点 $\text{[math]}$ 到水面的距离是 $\text{[math]}$ .

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为 $\text{[math]}$ 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 时，桥下水位刚好在 $\text{[math]}$ 处.有一名身高 $\text{[math]}$ 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $\text{[math]}$ ，该抛物线在 $\text{[math]}$ 轴下方部分与桥拱 $\text{[math]}$ 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，平移后的函数图象在 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值随 $\text{[math]}$ 值的增大而减小，结合函数图象，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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24. (2020九上·黄岛期末) 为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．

（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

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25. (2020九上·越城期中) 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：

①抛物线型；②圆弧型. 已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米.

（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度.

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26. (2021·秦淮模拟) 如图①，小明和小亮分别站在平地上的 $\text{[math]}$ 两地先后竖直向上抛小球 $\text{[math]}$ （抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面. $\text{[math]}$ 两球到地面的距离 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与小球A离开小明手掌后运动的时间 $\text{[math]}$ 之间的函数图象分别是图②中的抛物线 $\text{[math]}$ .已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，顶点是 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，两抛物线的开口大小相同.

（1）分别求出 $\text{[math]}$ 与x之间的函数表达式.
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中.
①当x的值为 ▲ 时，两小球到地面的距离相等；

②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？

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27. (2021九上·嘉兴期末) 女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A， B两处先后垫球，球沿抛物线C₁ → C₂ → C₃运动（假设抛物线C₁ ， C₂ ， C₃在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米.如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），点B的横坐标为 - $\text{[math]}$ ，抛物线C₁和C₃的表达式分别为 y = ax²- 2ax 和 y = 2ax² + bx （a≠ 0）.

（1）求抛物线C₁的函数表达式.
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由.
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少为多少米？

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28. (2021九上·湖北月考) 一台自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管在高出地面1.5米的A处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头A与水流最高点B连线与y轴成 $\text{[math]}$ 角，水流最高点B比喷头A高2米.

（1）求抛物线解析式；
（2）求水流落地点C到O的距离；
（3）若水流的水平位移s米（抛物线上两对称点之间的距离）与水流的运动时间t之间的函数关系为 $\text{[math]}$ ，求共有几秒钟，水流的高度不低于2米？

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29. (2019九上·黔南期末) 如图所示，某公园在一块扇形0EF草坪上的圆心0处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高 $\text{[math]}$ 米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．喷出的水流在与0点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．当喷头A旋转120°时，这块草坪可以全被水覆盖·

（1）建立适当的平面直角坐标系，使A的坐标为(0， $\text{[math]}$ )，水流的最高点B的坐标为(4，2)，求出此平面直角坐标系中抛物线水流对应的函数解析式；
（2）求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）
（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图②的设计方案是使H，G分别在OF，OE上，MN在EF上，设MN=2X米，当X取何值时，矩形GHMN花坛的面积最大?

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30. (2022·坪山模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点D，E是线段BC上的两点（E在D的右侧）， $\text{[math]}$ ，过点D作DP∥y轴，交直线BC上方抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接FD，FP，当△DFP面积最大时，求点P的坐标及△DFP面积的最大值；
（3）如图2，在（2）取得面积最大的条件下，连接BP，将线段BP沿射线BC方向平移，平移后的线段记为B'P'，G为y轴上的动点，是否存在以B'P'为直角边的等腰Rt△GB'P'？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．

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31. (2021·河南模拟) 如图1，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm.点P是以AC为直径的半圆上的动点，设C，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y₁cm，A，P两点间的距离为y₂cm.根据学习函数的经验，小宇分别对函数y₁ ， y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小宇的探究过程，请补充完整：

⑴

⑵
⑶

（1）根据点P在半圆上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CP，BP，AP的长度，得到下表的几组对应值：

x/cm	0	1	2	3	3.5
y₁/cm	2	3	3.8	4.4	4
y₂/cm	3.5	3.3	2.8	1.7	0

（2） ①如图2，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y₁的图象，请在同一坐标系中，描点并画出函数y₂的图象；②结合函数图象填空：当x≈ ▲ cm时，y₁＝y₂；当y₁＜y₂时，x的取值范围是 ▲ ；（结果精确到0.1cm）
（3）当PA＝PC时，结合函数图象写出线段CP与BP的长.（结果精确到0.1cm）

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32. (2022九下·下城开学考) 已知二次函数y＝x²+2bx+c

（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值.

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