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2024年中考数学热点探究二 整体思想在求值中的运用

更新时间:2024-04-27 浏览次数:22 类型:二轮复习
一、选择题(每题3分,共30分)
二、填空题(每题3分,共15分)
三、解答题(共9题,共75分)
  • 16. 已知:数a与b互为相反数,c与d互为倒数, . 求式子的值.
  • 17. (2024八上·从江月考) 先阅读下列材料,再解答问题:

    材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.

    解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.

    再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.

    上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请解答下列问题:

    1. (1) 因式分解:1+2(2x-3y)+(2x-3y)2
    2. (2) 因式分解:(a+b)(a+b-4)+4.
  • 18. (2024七上·雨花期末) 整体代换是数学的一种思想方法,例如:已知 , 求的值,我们将作为一个整体代入,则原式 . 仿照上面的解题方法,完成下面的问题:
    1. (1) 如果 , 求的值;
    2. (2) 若 , 求的值.
  • 19. (2024七上·贵阳月考) 阅读材料:我们知道,4x-2x+x=(4-2+1)x=3x,类似地,我们把(a+b)看成一个整体,则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学学习中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.

    尝试应用:

    1. (1) 把(a-b)2看成一个整体,合并3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2的结果是
    2. (2) 已知x2-2y=4,求3x2-6y-21的值;
    3. (3) 拓展探索:

      已知a-2b=3,2b-c=-5,c-d=10,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值.

  • 20. (2023九上·资中期中) 换元法是数学中的一种解题方法.若我们把其中某些部分看成一个整体,用一个新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.如:解二元一次方程组 , 按常规思路解方程组计算量较大.可设 , 那么方程组可化为 , 从而将方程组简单化,解出的值后,再利用解出的值即可.用上面的思想方法解方程:
    1. (1)
    2. (2)
  • 21. (2024九上·黔南期末) 阅读材料:

    解方程: . 我们可以将视为一个整体,然后设 , 则 , 原方程化为①,解得

    时,

    时,

    原方程的解为

    根据上面的解答,解决下面的问题:

    1. (1) 填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用法达到降次的目的,体现了的数学思想;
    2. (2) 解方程;
  • 22. (2020·吕梁模拟) 阅读理解,并解决问题:

    “整体思想”是中学数学中的一种重要思想,贯穿于中学数学的全过程,比如整体代入,整体换元,整体约减,整体求和,整体构造,…,有些问题若从局部求解,采取各个击破的方式,很难解决,而从全局着眼,整体思考,会使问题化繁为简,化难为易,复杂问题也能迎刃而解.

    例:当代数式 的值为7时,求代数式 的值.

    解:因为 ,所以

    所以.

    以上方法是典型的整体代入法.

    请根据阅读材料,解决下列问题:

    1. (1) 已知 ,求 的值.
    2. (2) 我们知道方程 的解是 ,现给出另一个方程 ,则它的解是
  • 23. (2024七下·高州月考) 两个边长分别为ab的正方形如图放置(图1),其未叠合部分(阴影)面积为S1;若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2),两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2

    1. (1) 用含ab的代数式分别表示S1S2
    2. (2) 若a+b=10,ab=23,求S1+S2的值;
    3. (3) 当S1+S2=28时,求出图3中的阴影部分的面积S3.
  • 24. (2023九上·广水月考) 阅读下面材料,然后解答问题:

    解方程:(x2-6)3-(x2-6)-2=0.

    分析:本题实际上为一元四次方程,若展开按常规方法解答,对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”,我们发现本方程是以为基本结构搭建的,所以我们可以把视为一个整体,设为另外一个未知数,就可以把原方程降次为一元二改方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.

    解:设 , 则原方程换元为.

         

    解得

         

    解得:

    请参考例题解法,解下列方程:

    1. (1)
    2. (2) .

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