2019-2023高考数学真题分类汇编21 空间向量与立体几...

更新时间：2023-09-02 浏览次数：28 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2021·浙江) 如图已知正方体 $\text{[math]}$ ，M ， N分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 异面，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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2. (2020·新高考Ⅰ) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）

A . 20° B . 40° C . 50° D . 90°

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3. (2019·浙江) 设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。则（）

A . β＜γ，a ＜γ B . β＜α，β＜γ C . β＜α，γ＜α D . α＜β ， γ＜β

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4. (2019·全国Ⅲ卷理) 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD ， M是线段ED的中点，则（）

A . BM=EN ，且直线BM、EN 是相交直线 B . BM≠EN ，且直线BM ， EN 是相交直线 C . BM=EN ，且直线BM、EN 是异面直线 D . BM≠EN ，且直线BM ， EN 是异面直线

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二、多项选择题

5. (2021·新高考Ⅱ卷) 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 $\text{[math]}$ 的是（）

A . B . C . D .

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三、填空题

6. (2020·新课标Ⅱ·理) 设有下列四个命题：
p₁：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p₂：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p₃：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p₄：若直线l $\text{[math]}$ 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是.

① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$

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四、解答题

7. (2023·全国乙卷) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积。
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8. (2022·全国乙卷) 如图，四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，E为AC的中点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面ACD；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，点F在BD上，当 $\text{[math]}$ 的面积最小时，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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9. (2022·全国甲卷) 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $\text{[math]}$ 是边长为8（单位：cm）的正方形， $\text{[math]}$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $\text{[math]}$ 垂直．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
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10. (2021·全国乙卷) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD $\text{[math]}$ 底面ABCD，M为BC的中点，且PB $\text{[math]}$ AM.
1. （1）证明：平面PAM $\text{[math]}$ 平面PBD；
2. （2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.
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11. (2021·全国甲卷) 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形． $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求三棱锥F－EBC的体积；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，证明： $\text{[math]}$ ．
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12. (2020·新课标Ⅲ·文) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．证明：
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内．
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13. (2020·新课标Ⅲ·理) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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14. (2020·新课标Ⅱ·文) 如图，已知三棱柱ABC–A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点．过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F．
1. （1）证明：AA₁//MN，且平面A₁AMN⊥平面EB₁C₁F；
2. （2）设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB₁C₁F，且∠MPN= $\text{[math]}$ ，求四棱锥B–EB₁C₁F的体积．
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15. (2020·新课标Ⅰ·文) 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， $\text{[math]}$ 是底面的内接正三角形，P为 $\text{[math]}$ 上一点，∠APC=90°．
1. （1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
2. （2）设DO= $\text{[math]}$ ，圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥P−ABC的体积.
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16. (2020·新课标Ⅱ·理) 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点，过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F.
1. （1）证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥EB₁C₁F；
2. （2）设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO∥平面EB₁C₁F，且AO=AB，求直线B₁E与平面A₁AMN所成角的正弦值.
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17. (2020·新课标Ⅰ·理) 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， $\text{[math]}$ 为底面直径， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是底面的内接正三角形，P为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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18. (2020·新高考Ⅰ) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
1. （1）证明：l⊥平面PDC；
2. （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
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19. (2020·天津) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 和棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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20. (2020·江苏) 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= $\text{[math]}$ ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
1. （1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
2. （2）若点F在BC上，满足BF= $\text{[math]}$ BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
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21. (2020·北京) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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22. (2020·浙江) 如图，三棱台DEF﹣ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．
（Ⅰ）证明：EF⊥DB；

（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值．

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23. (2019·上海) 如图，在正三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的体积．
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24. (2019·浙江) 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁ ，平面A₁AC₁C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点
1. （1）证明：EF⊥BC
2. （2）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值.
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25. (2019·天津) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

（Ⅰ）设 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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26. (2019·天津) 如图， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

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27. (2019·全国Ⅲ卷文) 图1是由矩形ADEB、 $\text{[math]}$ ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB ， BC折起使得BE与BF重合，连结DG ，如图2.
1. （1）证明图2中的A ， C ， G ， D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
2. （2）求图2中的四边形ACGD的面积.
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28. (2019·全国Ⅲ卷理) 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2.
1. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
2. （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
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29. (2019·全国Ⅱ卷理) 如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.
1. （1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；
2. （2）若AE=A₁E，求二面角B–EC–C₁的正弦值.
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30. (2019·北京) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

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31. (2019·全国Ⅰ卷理) 如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2， $\text{[math]}$ BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点
1. （1）证明：MN∥平面C₁DE；
2. （2）求二面角A-MA₁-N的正弦值。
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32. (2019·北京) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3。E为PD的中点，点F在PC上，且 $\text{[math]}$ .

（I）求证：CD⊥平面PAD；
（II）求二面角F-AE-P的余弦值；
（III）设点G在PB上，且 $\text{[math]}$ .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。

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