高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

更新时间：2021-08-18 浏览次数：137 类型：单元试卷

一、单选题

1. (2021·新高考Ⅱ卷) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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2. (2021高二下·湖南期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·北京) 双曲线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高二下·南昌期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线右支上一点， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）．

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021高二下·云南期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 上一点A满足 $\text{[math]}$ ，则以点A为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆被 $\text{[math]}$ 轴所截得的弦长为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021高二下·辽宁期末) 椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 恰好与圆 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，则椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·全国乙卷) 设B是椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 $\text{[math]}$ ，则C的离心率的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 坐标原点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.若点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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二、多选题

9. (2021高二下·湖北期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为2，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上关于原点对称的两点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的右支上位于第一象限的动点（不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 可能有两条公切线 B . $\text{[math]}$ C . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的两条渐近线的距离之积为3

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10. (2021·青岛模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ 分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为 $\text{[math]}$ B . 若曲线C的离心率 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则曲线C上不存在点P，使得 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为C上一个动点，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$

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11. (2021·深圳模拟) 已知过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点在准线上的射影分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与抛物线相切

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12. (2021·河北模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上且不在x轴上的一点，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .设C的离心率为e， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021·和平模拟) 设 $\text{[math]}$ ，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线l与圆 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2021高二下·浙江期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长为．

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15. (2021高三上·水富月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为第二象限内椭圆上的一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点，则该椭圆的离心率为．

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16. (2021·全国甲卷) 已知F₁ ， F₂为椭圆C： $\text{[math]}$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $\text{[math]}$ ，则四边形PF₁QF₂的面积为。

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四、解答题

17. (2021·全国乙卷) 已知抛物线C： $\text{[math]}$ (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
1. （1）求C的方程.
2. （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\text{[math]}$ ，求直线OQ斜率的最大值.
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18. (2021·北京) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆E的标准方程；
2. （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k ，交椭圆E于不同的两点B ， C ，直线AB ， AC交y=-3于点M、N ，直线AC交y=-3于点N ，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
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19. (2021高二下·浙江期末) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左右顶点，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率是直线 $\text{[math]}$ 的斜率3倍．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为椭圆上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一点，证明：直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率之积为常数；
2. （2）证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点．
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20. (2021高二下·湖南期末) 设点 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点与椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点重合．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证：平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积为定值，并求出此定值．
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21. (2021·苏州模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为A、B，其图象经过点 $\text{[math]}$ ，渐近线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线C的方程；
2. （2）设点E、F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证： $\text{[math]}$ ．
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22. (2021·青岛模拟) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 上不同两点 $\text{[math]}$ 同时满足下列三个条件中的两个：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）请分析说明两点 $\text{[math]}$ 满足的是哪两个条件？并求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求证：直线 $\text{[math]}$ 经过线段 $\text{[math]}$ 的中点.
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