河北省2021届高三数学鸿浩超级联考试卷

更新时间：2021-07-05 浏览次数：200 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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3. 已知 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，m ， n是平面 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之外的两条不同的直线，且 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则E的焦距等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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5. 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

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6. 5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（）

A . 60 B . 80 C . 100 D . 120

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7. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为 $\text{[math]}$ 其中记 $\text{[math]}$ 为不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数），且过点 $\text{[math]}$ ，若葫芦曲线上一点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ 有且只有1个零点，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 某网络销售平台，实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品.根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额(单位：万元)和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层饼图.根据双层饼图(季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比)，下列说法正确的是（）

A . 2020年的总销售额为1000万元 B . 2月份的销售额为8万元 C . 4季度销售额为280万元 D . 12个月的销售额的中位数为90万元

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10. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 中，作它的内接正方形 $\text{[math]}$ ，且使得 $\text{[math]}$ ；再作正方形 $\text{[math]}$ 的内接正方形 $\text{[math]}$ ，且使得 $\text{[math]}$ ；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为 $\text{[math]}$ (其中第1个正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，第2个正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为 $\text{[math]}$ (其中第1个直角三角形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，第2个直角三角形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，…)，则（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列 B . $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列 D . 数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$

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12. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上且不在x轴上的一点，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .设C的离心率为e， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系中，角 $\text{[math]}$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在角 $\text{[math]}$ 的终边上，则角 $\text{[math]}$ .(用弧度表示)

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14. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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15. 光明中学为做到学校疫情防控常态化，切实保障学生的身体健康，组织1000名学生进行了一次“防疫知识测试”(满分100分).测试后，对学生的成绩进行统计和分析，结果如下：学生的平均成绩为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ .学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布 $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数 $\text{[math]}$ 近似为样本方差 $\text{[math]}$ ，则估计获表彰的学生人数为.(四舍五入，保留整数)参考数据：随机变量Z服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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16. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为正三角形，D是 $\text{[math]}$ 的中点，若半径为1的球O与三棱柱 $\text{[math]}$ 的三个侧面以及上､下底面都相切，则 $\text{[math]}$ ；若直线 $\text{[math]}$ 与球O的球面交于两点M ， N ，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，设 ▲ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
  在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这3个条件中，任选一个解答上述问题.
  
  注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.
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18. 某市甲､乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额，推向国内外，创造更高的收益，准备从甲､乙两个企业中选取优质的产品，参加2021年的广交会.现从甲､乙两个企业中各随机抽取5件产品进行质量检测，得到质量指数如下表：

甲

90

89

93

87

91

乙

91

89

90

88

92

规定：质量指数在90以上(包括90)的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，频率作为概率，求解以下问题：
1. （1）若从甲､乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品恰好都是甲企业的优质品的概率；
2. （2）从乙企业的5件产品中随机取出1件，若为合格品则另放入1件优质品，直到取出的是优质品，求取得合格品次数X的分布列和期望；
3. （3）若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是该市贸易部门的负责人，从产品质量的稳定性方面考虑，你会选择哪个企业？
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19. 在 $\text{[math]}$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求B；
2. （2）如图，圆O是 $\text{[math]}$ 的外接圆，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H ，过圆心O作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，且 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的长.
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20. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.
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21. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ， C上一点G到F的距离为5，到直线 $\text{[math]}$ 的距离为5.
1. （1）求C的方程；
2. （2）过点F作与x轴不垂直的直线l与C交于A ， B两点，再过点A ， B分别作直线l的垂线，与x轴分别交于点P ， Q ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 零点的个数.
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