2021年高考数学真题试卷（北京卷）

更新时间：2021-06-29 浏览次数：705 类型：高考真卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在上 $\text{[math]}$ 的函数，那么“函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增”是“函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. 双曲线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个等差数列，其中 $\text{[math]}$ 为常值， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 64 B . 128 C . 256 D . 512

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7. 函数 $\text{[math]}$ ，试判断函数的奇偶性及最大值（）

A . 奇函数，最大值为2 B . 偶函数，最大值为2 C . 奇函数，最大值为 $\text{[math]}$ D . 偶函数，最大值为 $\text{[math]}$

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8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ $\text{[math]}$ ）来判断降雨程度．其中小雨（ $\text{[math]}$ ），中雨（ $\text{[math]}$ ），大雨（ $\text{[math]}$ ），暴雨（ $\text{[math]}$ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

A . 小雨 B . 中雨 C . 大雨 D . 暴雨

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9. 已知圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 变化时， $\text{[math]}$ 截得圆 $\text{[math]}$ 弦长的最小值为2，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 数列 $\text{[math]}$ 是递增的整数数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 9 B . 10 C . 11 D . 12

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二、填空题5小题，每小题5分，共25分．

11. $\text{[math]}$ 展开式中常数项为．

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12. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的横坐标是；作 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，写出一个符合题意的 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，给出下列四个结论：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有两个零点；

② $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 有一个零点；

③ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 有三个零点；

④ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 有三个零点．

以上正确结论得序号是．

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15. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 $\text{[math]}$ 存在且唯一确定，并求出 $\text{[math]}$ 边上的中线的长度．
  ① $\text{[math]}$ ；②周长为 $\text{[math]}$ ；③面积为 $\text{[math]}$ ；
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17. 已知正方体 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，直线 $\text{[math]}$ 交平面 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
1. （1） ①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
  ②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 $\text{[math]}$ ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
2. （2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值，求 $\text{[math]}$ 的单调区间，以及最大值和最小值．
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆E的标准方程；
2. （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k ，交椭圆E于不同的两点B ， C ，直线AB ， AC交y=-3于点M、N ，直线AC交y=-3于点N ，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
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21. 设p为实数．若无穷数列{a_n}满足如下三个性质，则称{a_n}为R_P数列：
：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ （m=1，2，…；n=1，2，…）．
1. （1）如果数列{a_n}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{a_n}是否可以为 $\text{[math]}$ 数列？说明理由；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 数列，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设数列{a_n}的前n项和为S_n ，是否存在 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ ，对 $\text{[math]}$ 恒成立？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
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