2023-2024学年初中数学湘教版九年级下学期第1章二...

更新时间：2024-04-03 浏览次数：40 类型：单元试卷

一、选择题

1. (2024八上·杭州月考) 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 $\text{[math]}$ 与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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2. (2024九下·阎良开学考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则抛物线的最低点的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·嘉兴期末) 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ，则b的值为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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4. (2022·毕节模拟) 已知反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则二次函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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5. 如图所示的是二次函数 $\text{[math]}$ 的部分图象，由图象可知不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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6. (2020九上·潮州期末) 将抛物线 $\text{[math]}$ 通过一次平移可得到抛物线 $\text{[math]}$ ．对这一平移过程描述正确的是（）

A . 向右平移3个单位长度 B . 向上平移3个单位长度 C . 向左平移3个单位长度 D . 向下平移3个单位长度

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7. (2022九上·长清期末) 如图，已知开口向上的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 一定有两个不相等的实数根；④ $\text{[math]}$ .其中正确的个数有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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8. (2024九上·黔东南期末) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的对称轴为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，y的取值范围是 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax²﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　）

A . ﹣1≤a＜0 B . ﹣2≤a＜﹣1 C . ﹣1≤a＜ $\text{[math]}$ D . ﹣2≤a＜0

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10. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（）

A . 水流运行轨迹满足函数 $\text{[math]}$ B . 水流喷射的最远水平距离是40米 C . 喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米 D . 若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌

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二、填空题

11. (2023九上·凉州月考) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图像经过原点，那么m的值为．

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12. 已知点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）在抛物线y＝x²﹣3上，且0＜x₁＜x₂ ，则y₁y₂.（填“＜”或“＞”或“＝”）

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13. (2023九上·温岭期末) $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 时有最大值6，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则 $\text{[math]}$ 取最小值时，点P坐标是．

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15. (2023九上·赤坎期末) 如图，函数 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在抛物线上，则 $\text{[math]}$ ；⑥ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为任意实数），其中结论正确的有．

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三、解答题

16. (2024九上·鄞州期末) 已知二次函数的解析式为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ ，求n的取值范围；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
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17. (2024九上·凤山期末) 某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益 $\text{[math]}$ （万元）与投入成本x（ $\text{[math]}$ ）（万元）的函数表达式为： $\text{[math]}$ ，投资乙机器人一年后的收益 $\text{[math]}$ （万元）与投入成本x（ $\text{[math]}$ ）（万元）的函数表达式为： $\text{[math]}$ .
1. （1）若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？
2. （2）请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？
3. （3）若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
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18. 如图1，抛物线y＝﹣x²+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C ．在x轴上有一动点E（m ， 0）（0＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
3. （3）如图2，连接BC ， BC与ME交于点F ，连接AF ， △ACF和△BFM的面积分别为S₁和S₂ ，当S₁＝4S₂时，求点E坐标．
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四、实践探究题

19. (2023九上·金华月考) 根据以下素材，探究完成任务


素材1	图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗高GF=7cm，碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD= 12cm，此时面汤最大深度EG= 6cm，
素材2	如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止.
问题解决
任务1	确定碗体形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式。
任务2	拟定设计方案1	根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度。
任务3	拟定设计方案2	如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH。

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20. (2024九上·杭州月考)
1. （1）【问题初探】
  综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
  已知二次函数y＝x²+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
  ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)²+k
  形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h ，通过－2、h和2的大小
  关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
  ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是；
2. （2）【类比分析】
  张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x²+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；
3. （3）【学以致用】
  已知二次函数y＝－x²+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y₁ ，最小值为y₂ ，若y₁－y₂＝3，求a的值．
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21. (2024九上·嘉兴期末) 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成，立柱高为 $\text{[math]}$ ，顶棚最高点距离地面 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．
素材2	为提高灌溉效率，学校在 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器 $\text{[math]}$ ，从喷水口 $\text{[math]}$ 喷出的水流可以看成抛物线，其形状与 $\text{[math]}$ 的图象相同， $\text{[math]}$ ，此时水流刚好喷到立柱的端点 $\text{[math]}$ 处．
问题解决
任务1	确定顶棚的形状	以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2	探索喷水的高度	问 $\text{[math]}$ 处喷出的水流在距离 $\text{[math]}$ 点水平距离为多少米时达到最高．
任务3	调整喷头的高度	如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘 $\text{[math]}$ 处．

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五、综合题

22. (2024·清城模拟) 抛物线y＝ax²+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C ．连结BC ，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC ，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m ， 0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q ，交BD于点M ．
1. （1）求该抛物线对应的函数表达式；
2. （2） x轴上是否存在一点P ，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
3. （3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
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23. (2018·松桃模拟) 如图，抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
3. （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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24. (2018九上·云南期末) 如图，抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
1. （1）试求A，B，C的坐标；
2. （2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
  ①求点D的坐标；
  
  ②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
3. （3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
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