【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数单...

更新时间：2023-08-17 浏览次数：12 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2023·北京卷) 下列函数中，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·天津市) 已知 $\text{[math]}$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；
③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ 的图象可由 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2022·浙江学考) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则此函数是（）

A . 偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减 B . 偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增 C . 奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减 D . 奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增

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4. (2023·黄埔) 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . $\text{[math]}$ 最小值为 $\text{[math]}$

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5. (2023·浙江模拟) 若定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）．

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. (2023·广东模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为π B . 函数 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 中心对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 在定义域上单调递增 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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7. (2023·广东模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增

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8. (2023·广东模拟) 已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，定义函数 $\text{[math]}$ 为X取值不超过x的概率，即 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数 D . $\text{[math]}$

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9. (2023·绍兴模拟) 下列函数在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·绍兴模拟) “冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 是奇数㩆乘以3再加1，如果 $\text{[math]}$ 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设 $\text{[math]}$ ，各项均为正整数的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 为奇数时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 为偶数时， $\text{[math]}$ 是递增数列

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11. (2023·静安模拟) 函数 $\text{[math]}$ （　　）

A . 严格增函数 B . 在 $\text{[math]}$ 上是严格增函数，在 $\text{[math]}$ 上是严格减函数 C . 严格减函数 D . 在 $\text{[math]}$ 上是严格减函数，在 $\text{[math]}$ 上是严格增函数

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12. (2023·宣城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，下列关于该函数的结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . $\text{[math]}$ 的一个周期是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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13. (2023·邯郸模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的定义域是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 有最大值 C . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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二、填空题

14. (2023·北京卷) 设 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减；

②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 存在最大值；

③设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

④设 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 存在最小值，则a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．

其中所有正确结论的序号是．

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15. (2023高三下·温州月考) 已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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16. (2022·山西二模) 已知函数 $\text{[math]}$ 给出下列结论：① $\text{[math]}$ 是偶函数；② $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数；③若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为．

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17. (2022·徐汇二模) 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在反函数，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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18. 已知 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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19. (2021·吉林模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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20. (2021·陕西模拟) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最大值是

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21. (2021·潍坊模拟) 设函数 $\text{[math]}$ 则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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22. (2021·肥城模拟) 请写出一个值域为 $\text{[math]}$ 且在 $\text{[math]}$ 上单调递减的偶函数．

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23. (2021·贵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，给出下列四个命题：
① $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个周期； ②函数 $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称；

③函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ； ④函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的单调函数.

其中所有真命题的序号是.

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24. (2021·成都模拟) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ 成立．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为．（用符号“ $\text{[math]}$ ”连接）

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三、解答题

25. (2023·新高考Ⅰ卷) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
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26. (2022高三上·白山) 已知定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是奇函数．
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的单调性并给予证明；
3. （3）求函数 $\text{[math]}$ 的值域．
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27. (2023·上海市模拟) 设 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的函数，如果对任意的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均成立，则称 $\text{[math]}$ 是“平缓函数”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是否为“平缓函数” ?
  并说明理由； (参考公式： $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立)
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 是“平缓函数”，且 $\text{[math]}$ 是以 1为周期的周期函数，
  证明：对任意的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上函数，且存在正常数 $\text{[math]}$ 使得函数 $\text{[math]}$ 为“平缓函数”.
  现定义数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，
  
  试证明：对任意的正整数 $\text{[math]}$ .
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28. (2023·上海市模拟) 函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性，并利用单调性的定义证明；
2. （2） $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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29. (2022·通州模拟) 从一个无穷数列 $\text{[math]}$ 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为 $\text{[math]}$ 的一个无穷递增子列．已知数列 $\text{[math]}$ 是正实数组成的无穷数列，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项的所有可能情况；
2. （2）求证：数列 $\text{[math]}$ 存在无穷递增子列；
3. （3）求证：对于任意实数 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
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30. (2022·宝山二模) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，又是奇函数，求 $\text{[math]}$ 的解析式，判断其在 $\text{[math]}$ 上的单调性并加以证明．
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31. (2022·攀枝花模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
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32. (2022高三上·金山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的反函数，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，若存在，求m的值，并证明此时 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，若不存在，请说明理由.
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33. (2022·长宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的减函数；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ 的图像存在对称中心 $\text{[math]}$ 的充要条件是 $\text{[math]}$ 的图像关于原点中心对称，判断函数 $\text{[math]}$ 的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；
3. （3）若对任意 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ 及实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值.
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34. (2022·虹口模拟) 某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企业纳税额为 $\text{[math]}$ （单位：万元），补助款为 $\text{[math]}$ （单位：万元），其中 $\text{[math]}$ 为常数.
1. （1）分别判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是否符合发放方案规定，并说明理由；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 符合发放方案规定，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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