上海市金山区2022届高三上学期数学一模试卷

更新时间：2022-01-22 浏览次数：133 类型：高考模拟

一、填空题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是

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3. (2019高三上·吴中月考) 若复数z满足 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则 $\text{[math]}$ .

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4. 在 $\text{[math]}$ 的二项展开式中， $\text{[math]}$ 项的系数为(结果用数值表示).

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，则行列式 $\text{[math]}$ 的值为

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6. 某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为

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7. 设P为直线 $\text{[math]}$ 上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线的距离之积为27，则点P的坐标为

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为

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9. 有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是（结果用最简分数表示）.

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10. 已知 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､…､ $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上不同的点，点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列” $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最小值.

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12. 已知点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，记线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，取线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中的一条，记其端点为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，使之满足 $\text{[math]}$ ，记线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，取线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中的一条，记其端点为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，使之满足 $\text{[math]}$ ，依次下去，得到点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､…､ $\text{[math]}$ ､…，则 $\text{[math]}$ .

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二、单选题

13. 已知a､ $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）条件

A . 充分非必要 B . 必要非充分 C . 充要 D . 非充分非必要

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14. 下列函数中，以 $\text{[math]}$ 为周期且在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，P､Q､R分别是棱AB､BC､ $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体 $\text{[math]}$ 的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，记向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ .则正确的判断是（）

A . ①成立，②成立 B . ①成立，②不成立 C . ①不成立，②成立 D . ①不成立，②不成立

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三、解答题

17. 如图，已知圆锥的底面半径 $\text{[math]}$ ，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点.
1. （1）求此圆锥的表面积：
2. （2）求异面直线PQ与SO所成角的大小.
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的反函数，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，若存在，求m的值，并证明此时 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，若不存在，请说明理由.
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19. 落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区， $\text{[math]}$ ，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.
1. （1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
2. （2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若 $\text{[math]}$ ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.
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20. 已知 $\text{[math]}$ 为椭圆C： $\text{[math]}$ 内一定点，Q为直线l： $\text{[math]}$ 上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.
1. （1）当直线PQ的倾斜角为 $\text{[math]}$ 时，求直线OQ的斜率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ AOB的面积为 $\text{[math]}$ 时，求点Q的横坐标；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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21. 已知有穷数列 $\text{[math]}$ 的各项均不相等，将 $\text{[math]}$ 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“序数列”.例如，数列 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则其“序数列” $\text{[math]}$ 为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.
1. （1）若数列 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的“序数列”为2､3､1，求实数x的取值范围；
2. （2）若项数均为2021的数列 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 互为“保序数列”，其通项公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （t为常数），求实数t的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，其中p､q是实常数，且 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若当正整数 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 的前k项与数列 $\text{[math]}$ 的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p､q满足的条件.
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