2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破3 分母有理化

小明的方法是：===；

小亮的方法是： ；

小丽的方法是：.

则下列说法正确的是（　　）

甲：；

乙：.

这两位同学的解法，你认为（   ）

= ， =

=， =

①

②

③

④

他们的解法，正确的是．（填序号）

例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣ ， ＝＋；＝2﹣ ， ＝2＋；⋯．

根据小腾发现的规律，解决下列问题：

以上这种化简的步骤，将分母乘某个因式，使得积不含有根式，叫做分母有理化．其中还可以用以下方法化简：

  = = ；（一）

= = （二）

= = = ﹣1（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

化简： ．

      ，

      ，

      ，

依据以上呈现的规律，计算：

请你阅读下列材料，并完成相应的任务．

裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如： ．

在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： ， ．

如：将分母有理化，解：原式 ．

运用以上方法解决问题：

已知： ， ．

（一）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

．

那么我们称这个过程为分式的分母有理化．

（二）如果我们能找到两个实数 ， 使且 ，

这样 ， 那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式．”

例如： ．

根据阅读材料解决下列问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：因为 ， 所以 与 ， +1 与. 互为有理化因式.这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

 .

回答问题：

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．

……