备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：平面解析几何-在线组卷

1. (2024高三上·重庆市月考) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ， F为抛物线E的焦点，过F作圆M的切线，切线长为 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线E的方程；
（2）已知A ， B ， C是抛物线E上的三点，A不与坐标原点重合，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与圆M相交所得的弦长均为3，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，求A的坐标．

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2. (2023高二上·汕头月考) 已知G是圆T： $\text{[math]}$ 上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C

（1）求曲线C的方程；
（2）设P是曲线C上任一点，延长OP至Q，使 $\text{[math]}$ ，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线 $\text{[math]}$ 交曲线E于A，B两点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值。
（3） M，N是曲线C上两个动点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为定值，求出此定值（直接写出结论，不要求写证明过程）

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3. (2023高二上·永川月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ .

（1）若直线 $\text{[math]}$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点为 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）面积的最小值，直线 $\text{[math]}$ 的方程..

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4. (2023·重庆市模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，过曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的负半轴的交点 $\text{[math]}$ 作两条直线分别交曲线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （异于 $\text{[math]}$ ），且直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ .

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点.

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5. (2023高二上·南海月考) 已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A、B两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求线段 $\text{[math]}$ 的长.

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6. (2024高三上·贵阳月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有共同的焦点.

（1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 两点分别作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线，两条切线相交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

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7. (2023高二上·成都月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点Р到点 $\text{[math]}$ 的距离与到直线 $\text{[math]}$ 的距离之比为 $\text{[math]}$ ，设动点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；
（2）过 $\text{[math]}$ 作两条垂直直线，分别交曲线C于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 的中点，证明直线 $\text{[math]}$ 过定点，并求出定点的坐标.

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8. (2023高二上·闽清月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知两点 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .如图，动直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 轴上方），且 $\text{[math]}$ .

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）当 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
（3）是否存在一个定点，使得直线 $\text{[math]}$ 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

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9. (2022高二上·舟山期末) 已知点 $\text{[math]}$ ，圆C： $\text{[math]}$ .

（1）若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，过直线 $\text{[math]}$ 上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.

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10. (2023高二上·浙江月考) 在平面内，已知动点M到两个定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离的比值为2.

（1）求动点M的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状；
（2）直线 $\text{[math]}$ 与轨迹C交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程.

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11. (2023高二上·重庆市月考) 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，动圆C与这两个圆中的一个内切，另一个外切.

（1）求动圆圆心C的轨迹方程.
（2）若动圆圆心C的轨迹为曲线M ， $\text{[math]}$ ，斜率不为0的直线 $\text{[math]}$ 与曲线M交于不同于D的A ， B两点， $\text{[math]}$ ，垂足为点E ，若以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点D ，试问是否存在定点F ，使 $\text{[math]}$ 为定值?若存在，求出该定值及F的坐标；若不存在，请说明理由.

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12. (2023高二上·汕头月考)

（1）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程；
（2）在平面直角坐标系中，已知点F(0，2)，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C. 求C的方程

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13. (2024高三上·北碚月考) 动点P与定点 $\text{[math]}$ 的距离和它到直线 $\text{[math]}$ 的距离的比是常数 $\text{[math]}$ ，记点P的轨迹为E.

（1）求E的方程；
（2）已知 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与曲线E交于不同的两点A ， B ，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与x轴交于C ， D两点，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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14. (2023高三上·闽清月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线为 $\text{[math]}$ ，且双曲线 $\text{[math]}$ 的虚轴长为 $\text{[math]}$ .

（1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）记 $\text{[math]}$ 为坐标原点，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 相交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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15. (2023高二上·闽清月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作椭圆的切线 $\text{[math]}$ ，切点为A ， B.

（1）若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ ；
（2）求O到直线 $\text{[math]}$ 的距离的范围.

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16. (2023高二上·闽清月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条浙近线方程为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在双曲线上.

（1）求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线左右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线右支于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线左支于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 在定直线上.

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17. (2024·安徽模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 左右两支分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两个不同的点 $\text{[math]}$ 异于顶点 $\text{[math]}$ ．

（1）若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 斜率之积 $\text{[math]}$ 为坐标原点 $\text{[math]}$
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线的左右顶点，且 $\text{[math]}$ ，试判断直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由．

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18. (2024·潍坊期末) 已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM交于点Q ，点Q的轨迹为曲线C ．

（1）求曲线C的方程；
（2） $\text{[math]}$ ，点E、F（不在曲线C上）是直线 $\text{[math]}$ 上关于x轴对称的两点，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与曲线C分别交于点A、B（不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），证明：直线AB过定点．

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19. (2024·扬州模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两焦点分别为 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 上有三点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别过 $\text{[math]}$ 的周长为8．

（1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
（2） ①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
②证明：当 $\text{[math]}$ 面积最大时， $\text{[math]}$ 必定经过 $\text{[math]}$ 的某个顶点．

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