上海市宝山区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

更新时间：2023-10-09 浏览次数：13 类型：期末考试

一、填空题

1. 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为

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2. 在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 平面的对称点 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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3. 直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且与向量 $\text{[math]}$ 垂直，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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4. 双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线的夹角的余弦值为.

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5. 某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是（结果精确到0.1%）.

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6. 若 $\text{[math]}$ 表示圆，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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7. 若实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等差数列，则直线 $\text{[math]}$ 必经过一个定点，则该定点坐标为.

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8. 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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9. 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式是 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项的和为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 是严格增数列，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. 如图，记棱长为1的正方体为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 各个面的中心为顶点的正八面体为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 各面的中心为顶点的正方体为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 各个面的中心为顶点的正八面体为 $\text{[math]}$ ， …，以此类推得到一系列的多面体 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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11. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是空间互相垂直的单位向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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12. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 在第一、三象限分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点.有下列结论：①四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；②若 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ 为正三角形，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ .其中正确命题的序号是.

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二、单选题

13. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 不经过第象限（）

A . 一 B . 二 C . 三 D . 四

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 三向量共面，则实数 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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15. 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 恰有两个公共点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 已知空间直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离相等，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹是（）

A . 直线 B . 椭圆 C . 双曲线 D . 抛物线

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三、解答题

17. 已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 在两个坐标轴上的截距相等，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ ，已知动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离等于点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .
1. （1）过点 $\text{[math]}$ 且斜率为2的直线与曲线 $\text{[math]}$ 交于两个不同的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求曲线 $\text{[math]}$ 上的点到直线 $\text{[math]}$ 的最短距离.
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19. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是正方体 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，求：
1. （1） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
2. （2）二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，请判断点 $\text{[math]}$ 的位置，并说明理由.
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20. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .在等差数列 $\text{[math]}$ 中，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和记为 $\text{[math]}$ ，试判断是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为2，且过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的上、下顶点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，过椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点.
  ①若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；
  
  ②设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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