如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120cm，高AD＝80cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设PQ＝xcm，矩形PQMN的面积为ycm2 ，请写出y关于x的函数表达

1. (2019九上·秀洲期末) 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120cm，高AD＝80cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设PQ＝xcm，矩形PQMN的面积为ycm² ，请写出y关于x的函数表达式（并注明x的取值范围）．

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2023九上·崇明期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 可以用含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的式子表示为．

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2. (2023九上·上城期中) 半径为5的圆中，60°的圆周角所对的弧长为．

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3. 底角相等的两个等腰三角形相似.(填“一定”或“不一定”)

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1. (2022九上·蒙城月考) 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形 $\text{[math]}$ 的面积是100，小正方形 $\text{[math]}$ 的面积是4．则：（1） $\text{[math]}$ ；（2） $\text{[math]}$ ．

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2. (2023九上·孝南期中) 如图， $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的中点，以点 $\text{[math]}$ 为顶点作正方形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一周，当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ 的长为．

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3. (2023九上·东阿月考) 如图，点 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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1. (2022九上·西山期中) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．若点A、B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）

A . 28° B . 30° C . 36° D . 56°

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2. (2021九上·察哈尔右翼前旗期末) 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）

A . B . C . D .

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3. (2023九上·余杭期中) 如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，半径 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在劣弧 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2021·河南) 下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1，（1）分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）；（2）分别作线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交点为 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；（3）作射线 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 即为 $\text{[math]}$ 的平分线.简述理由如下：

由作图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是大麻烦了，可以改进如下，如图2.（1）分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）；（2）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交点为 $\text{[math]}$ ；（3）作射线 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 即为 $\text{[math]}$ 的平分线.

……

任务：

（1）小明得出 $\text{[math]}$ 的依据是.（填序号）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ .
（2）小军作图得到的射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长.

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2. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数）经过点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，且横坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧）．
1. （1）求该抛物线对应的函数表达式；
2. （2）直接写出抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，抛物线在点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间的部分（包括 $\text{[math]}$ 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
4. （4）连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为邻边构造平行四边形 $\text{[math]}$ ，当平行四边形 $\text{[math]}$ 为轴对称图形时，直接写出所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的值．
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3. (2021·信阳模拟) 已知，如图1所示，在平面直角坐标系内有直角梯形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴与 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ，根据条件解决下列问题：
1. （1）求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2）如图2， $\text{[math]}$ 轴上有一点 $\text{[math]}$ ，将△ADB沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得△OBC为直角三角形，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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