2017年高考真题分类汇编（理数）：专题4 数列与不等式

更新时间：2017-07-21 浏览次数：566 类型：二轮复习

一、单选题

1. (2017·天津) 设变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 3

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2. (2017·北京) 若x，y满足 $\text{[math]}$ ，则x+2y的最大值为（　　）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 9

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3. (2017·新课标Ⅰ卷理) 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若a₄+a₅=24，S₆=48，则{a_n}的公差为（　　）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 8

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4. (2017·山东) 若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）

A . a+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜log₂（a+b）） B . $\text{[math]}$ ＜log₂（a+b）＜a+ $\text{[math]}$ C . a+ $\text{[math]}$ ＜log₂（a+b）＜ $\text{[math]}$ D . log₂（a+b））＜a+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$

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5. (2017·山东) 已知x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=x+2y的最大值是（　　）

A . 0 B . 2 C . 5 D . 6

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6. (2017·浙江) 已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n ，则“d＞0”是“S₄+S₆＞2S₅”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2017·浙江) 若x、y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=x+2y的取值范围是（）

A . [0，6] B . [0，4] C . [6，+∞） D . [4，+∞）

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8. (2017·新课标Ⅰ卷理) 设x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=3x﹣2y的最小值为．

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9. (2017·新课标Ⅱ卷理) 设x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=2x+y的最小值是（）

A . ﹣15 B . ﹣9 C . 1 D . 9

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10. (2017·新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A . 1盏 B . 3盏 C . 5盏 D . 9盏

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11. (2017·新课标Ⅲ卷理) 等差数列{a_n}的首项为1，公差不为0．若a₂ ， a₃ ， a₆成等比数列，则{a_n}前6项的和为（）

A . ﹣24 B . ﹣3 C . 3 D . 8

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12. (2017·天津) 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| $\text{[math]}$ +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A . [﹣ $\text{[math]}$ ，2] B . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] C . [﹣2 $\text{[math]}$ ，2] D . [﹣2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]

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13. (2017·新课标Ⅰ卷理) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2⁰ ，接下来的两项是2⁰ ， 2¹ ，再接下来的三项是2⁰ ， 2¹ ， 2² ，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）

A . 440 B . 330 C . 220 D . 110

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二、填空题

14. (2017·新课标Ⅲ卷理) 若x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=3x﹣4y的最小值为

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15. (2017·新课标Ⅲ卷理) 设等比数列{a_n}满足a₁+a₂=﹣1，a₁﹣a₃=﹣3，则a₄=

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16. (2017·新课标Ⅱ卷理) 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₃=3，S₄=10，则 $\text{[math]}$ =．

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17. (2017·江苏) 等比数列{a_n}的各项均为实数，其前n项为S_n ，已知S₃= $\text{[math]}$ ，S₆= $\text{[math]}$ ，则a₈=．

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18. (2017·江苏) 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．

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19. (2017·北京) 若等差数列{a_n}和等比数列{b_n}满足a₁=b₁=﹣1，a₄=b₄=8，则 $\text{[math]}$ =．

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20. (2017·天津) 若a，b∈R，ab＞0，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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三、解答题

21. (2017·山东)
已知{x_n}是各项均为正数的等比数列，且x₁+x₂=3，x₃﹣x₂=2．（12分）

（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P₁（x₁ ， 1），P₂（x₂ ， 2）…P_n₊₁（x_n₊₁ ， n+1）得到折线P₁ P₂…P_n₊₁ ，求由该折线与直线y=0，x=x₁ ， x=x_n₊₁所围成的区域的面积T_n ．

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22. (2017·天津) 已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N⁺），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄﹣2a₁ ， S₁₁=11b₄ ．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_2nb_2n_﹣₁}的前n项和（n∈N⁺）．

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23. (2017·浙江) 已知数列{x_n}满足：x₁=1，x_n=x_n+1+ln（1+x_n+1）（n∈N^*），证明：当n∈N^*时，
（Ⅰ）0＜x_n+1＜x_n；
（Ⅱ）2x_n+1﹣x_n≤ $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ） $\text{[math]}$ ≤x_n≤ $\text{[math]}$ ．

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24. (2017·北京) 设{a_n}和{b_n}是两个等差数列，记c_n=max{b₁﹣a₁n，b₂﹣a₂n，…，b_n﹣a_nn}（n=1，2，3，…），其中max{x₁ ， x₂ ， …，x_s}表示x₁ ， x₂ ， …，x_s这s个数中最大的数．（13分）
1. （1）若a_n=n，b_n=2n﹣1，求c₁ ， c₂ ， c₃的值，并证明{c_n}是等差数列；
2. （2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， $\text{[math]}$ ＞M；或者存在正整数m，使得c_m ， c_m₊₁ ， c_m₊₂ ， …是等差数列．
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25. (2017·江苏) 对于给定的正整数k，若数列{a_n}满足：a_n_﹣k+a_n_﹣k+1+…+a_n_﹣1+a_n+1+…a_n+k_﹣1+a_n+k=2ka_n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a_n}是“P（k）数列”．
（Ⅰ）证明：等差数列{a_n}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）若数列{a_n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a_n}是等差数列．

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