如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC= ，D是AC上一个动点（不运动至点A，C），过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连接BD，设CD=x．

1. (2017·隆回模拟) 如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC= $\text{[math]}$ ，D是AC上一个动点（不运动至点A，C），过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连接BD，设CD=x．
1. （1）用含x的代数式分别表示DF和BF；
3. （2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；
5. （3）如果△BDF的面积为S₁ ， △BDE的面积为S₂ ，那么x为何值时，S₁=2S₂ ．

能力提升真题演练换一批

1. (2022·嘉祥模拟) 如图，点P为函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 图象的交点，点P的纵坐标为4， $\text{[math]}$ 轴，垂足为点B．
1. （1）求m的值；
2. （2）点M是函数 $\text{[math]}$ 图象上一动点，过点M作 $\text{[math]}$ 于点D，若 $\text{[math]}$ ，求点M的坐标．
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2. (2022·赣州模拟)
1. （1）计算： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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3. (2021·红花岗模拟) 新定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是一个等补四边形.在数学活动课上，巧巧小组对等补四边形 $\text{[math]}$ 进一步探究，发现 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .
1. （1）巧巧小组提供的解题思路是：如图2，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，通过证明 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，再根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”得到 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .请你写出巧巧小组的完整证明过程；
2. （2）如图3，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 上一动点（不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），求证：四边形 $\text{[math]}$ 始终是一个等补四边形；
3. （3）在（2）的条件下，如图4，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，巧巧小组提出了一个问题：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值是否会随着点 $\text{[math]}$ 的移动而变化？若不变化，请求出其比值；若变化，请说明理由.
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1. (2021·荆门) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在BC边上，过A，C，E三点的 $\text{[math]}$ 交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是 $\text{[math]}$ 的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点.
1. （1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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2. (2022·济宁) 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$
1. （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的关系，并写出探究过程．
2. （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
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3. (2022·西宁) 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
1. （1）求证：△ABE≌△ADF；
2. （2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长．
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