北京市朝阳区2024届高三上学期数学期中数学试题

更新时间：2023-12-18 浏览次数：25 类型：期中考试

一、单选题

1. (2023高三上·海淀期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高三上·海淀期中) 下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高三上·海淀期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2018高三上·三明模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列判断一定正确的
是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022·丰台模拟) 已知偶函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减．若 $\text{[math]}$ ，则x的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021高三上·朝阳期中) 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 $\text{[math]}$ （）

A . 16 B . 15 C . 12 D . 9

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7. (2020高二上·宝安期末) 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，则“{a_n}是等差数列”是“ $\text{[math]}$ 是等差数列”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2021高三上·朝阳期中) 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . $\text{[math]}$ D . 4

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9. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，给出下列三个结论：
①存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；
②存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；
③记 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 有最小项；
其中所有正确结论的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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二、填空题

11. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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12. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆交于点 $\text{[math]}$ 在第二象限，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为最大数据传输速率，单位为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 为信道带宽，单位为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 为信噪比.香农公式在 $\text{[math]}$ 技术中发挥着举足轻重的作用，当 $\text{[math]}$ 时，最大数据传输速率记为 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，最大数据传输速率记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为.

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14. 已知 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到 $\text{[math]}$ 的图象，则函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为；若 $\text{[math]}$ 值域为 $\text{[math]}$ ，则满足条件的一个 $\text{[math]}$ 可以为.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．给出下列四个结论：
①若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的零点是 $\text{[math]}$ ；
②若函数 $\text{[math]}$ 无最小值，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ；
③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；
④若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 恰有三个不相等的实数根 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是公比为3的等比数列，且 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和Sn ，
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17. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 $\text{[math]}$ 存在且唯一确定，求 $\text{[math]}$ 的面积.
  条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ 的周长为9.
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
3. （3）问：棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由.
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极小值，求 $\text{[math]}$ 的值，并说明理由.
3. （3）若存在正实数 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. 设 $\text{[math]}$ 为整数．有穷数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，其项数为m（ $\text{[math]}$ ）．若 $\text{[math]}$ 满足如下两个性质，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列：① $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列，且 $\text{[math]}$ ，求m；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列，求 $\text{[math]}$ 的所有可能值；
3. （3）若对任意的 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，求d的最小值．
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