2022年高考理数模拟试卷（全国甲卷）

更新时间：2022-07-29 浏览次数：90 类型：高考模拟

一、选择题

1. (2022高一下·鹤岗期末) 已知i为虚数单位，复数z满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 复数z的模为 $\text{[math]}$ B . 复数z的共轭复数为 $\text{[math]}$ C . 复数z的虚部为 $\text{[math]}$ D . 复数z在复平面内对应的点在第一象限

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2. (2022·天津市模拟) 耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A . 直方图中x的值为0.004 B . 在被抽取的学生中，成绩在区间 $\text{[math]}$ 的学生数为30人 C . 估计全校学生的平均成绩为84分 D . 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

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3. (2022·齐齐哈尔模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022·浙江模拟) 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： $\text{[math]}$ ）是（）

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高二下·阜阳期末) 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的图像为（）

A . B . C . D .

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6. (2022高二下·揭阳期末) 函数f（x）的图象与其在点P处的切线如图所示，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . －2 B . 0 C . 2 D . 4

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7. (2022高二下·阜阳期末) 已知棱柱 $\text{[math]}$ 为正四棱柱，底面正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，正四棱柱外接球的体积为 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高二下·安康期末) 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 $\text{[math]}$ ，其中a，b，c是 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积S的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022高二下·越秀期末) 用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021高二上·广安期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，双曲线C的右支上有一点P满足 $\text{[math]}$ (点O为坐标原点)，那么双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2022高二下·玉溪期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2022·郑州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则它们的大小关系正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2022·安徽模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2022·天津市模拟) 直线l： $\text{[math]}$ 被圆C： $\text{[math]}$ 截得的弦长为 $\text{[math]}$ ，则m的值为.

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15. (2022·上海市模拟) 小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为．

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16. (2022·重庆市模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. (2022·湖北模拟) 已知在各项均为正数的等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成等比数列 $\text{[math]}$ 的前三项．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2022·河南模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是BC的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）求直线AC与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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19. (2022·西安模拟) 2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知这三种商品都能抢购成功的概率为 $\text{[math]}$ ，至少一种商品能抢购成功的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1） ①求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值；
  ②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.
2. （2）求张某抢购成功获得的优惠总金额 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
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20. (2022·陕西模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断线段 $\text{[math]}$ 的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交抛物线 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最小值．
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21. (2022·郑州模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 存在两个极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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四、选考题请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. (2022高二下·达州期末) 已知曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.以原点 $\text{[math]}$ 为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. (2022高二下·莲湖期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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