高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章...

更新时间：2021-09-13 浏览次数：298 类型：单元试卷

一、单选题

1. (2021高二下·雅安期末) 已知平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高一下·绍兴期末) 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高三上·信阳开学考) 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P在棱 $\text{[math]}$ 上，且三棱锥A-PBC的体积为4，则直线 $\text{[math]}$ 与平面PBC所成角的正弦值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高一下·河东期末) 三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为AB的中点， $\text{[math]}$ ，则点D到面 $\text{[math]}$ 的距离等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021高一下·绵阳期末) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，下列说法错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是异面直线 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面 D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 相交

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6. (2021高一下·锦州期末) “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 120°

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7. (2021高一下·湖南期末) 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则下列结论正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离是 $\text{[math]}$ B . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的角的余弦值是 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 为侧面 $\text{[math]}$ （含边界）上一点，满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长的最小值是5. D . 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的截面是钝角三角形

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8. (2021高二下·诸暨期末) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角正弦值的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021高一下·惠州期末) 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为2，侧棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则正确的结论有（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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10. (2021高一下·宁波期末) 正方体 $\text{[math]}$ 棱长为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是空间异于 $\text{[math]}$ 的一个动点，且 $\text{[math]}$ ，则下列正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 存在唯一一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ C . 存在无数个点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最短距离为 $\text{[math]}$

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11. (2021高一下·杭州期末) 某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为 $\text{[math]}$ ，金属底座是由边长为4的正三角形 $\text{[math]}$ 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（）

A . A ，B，D，F四点共面 B . 经过A，B，C三点的截面圆的面积为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ D . 奖杯整体高度为 $\text{[math]}$

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12. (2021高一下·盐城期末) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（）

A . 存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ B . 存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ C . 存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点落在半径为 $\text{[math]}$ 的球面上 D . 存在某个位置，使得点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021高一下·成都月考) 已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2021高二下·温州期中) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角），则当 $\text{[math]}$ 取最小值时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为.

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15. (2021高二下·郑州期末) 平面内一点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的距离为： $\text{[math]}$ ．由此类比，空间中一点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的距离为．

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16. (2021·吕梁模拟) 如图，已知棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，给出下列结论：

①异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角范围为 $\text{[math]}$ ；

②平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

③点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为定值 $\text{[math]}$ ；

④存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ .

其中正确的结论是.

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四、解答题

17. (2021·蚌埠模拟) 如图，多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.
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18. (2021高二下·普宁期末) 如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝ $\text{[math]}$ DC，F为PC的中点.
1. （1）求证：BF∥平面PAD；
2. （2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.
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19. (2021高三上·信阳开学考) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是矩形， $\text{[math]}$ 为BC的中点， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面ABCD；
2. （2）若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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20. (2021高三上·重庆月考) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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21. (2021高一下·常州期末) 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是等腰直角三角形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ 时，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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22. (2021高三上·长沙开学考) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求线段 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.
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