广东省广州二高2020-2021学年高二下学期数学期中考试试...

更新时间：2021-06-01 浏览次数：109 类型：期中考试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知正方形ABCD的边长为2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）．

A . -2 B . -4 C . 4 D . 2

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3. 欧拉恒等式： $\text{[math]}$ 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数 $\text{[math]}$ 、圆周率 $\text{[math]}$ 、虚数单位 $\text{[math]}$ 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式： $\text{[math]}$ 中，令 $\text{[math]}$ 得到的．根据欧拉公式， $\text{[math]}$ 复平面内对应的点在（）．

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2020高三上·如皋期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上有且只有一个点 $\text{[math]}$ 满足：过点 $\text{[math]}$ 作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 7

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6. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . 0 B . 35 C . 70 D . -70

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7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）．

A . B . C . D .

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

9. 已知空间中不同直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和不同平面 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，下列命题中是真命题的是（）．

A . 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 互为异面直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的是（）．

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 取得最大值时，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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11. (2021·衡阳模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为常数，则称数列 $\text{[math]}$ 为“吉祥数列”.则下列数列 $\text{[math]}$ 为“吉祥数列”的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，给出下列说法，其电正确的有（）．

A . $\text{[math]}$ 可能与平面 $\text{[math]}$ 平行 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的最大角为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 一定垂直 D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的最大角的正切值为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

13. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2019·天津) 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前10项和为．

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16. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线上一点， $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线平行，且 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

17. 某市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗．这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图（如图）．
1. （1）试估计这批树苗高度的众数，中位数；
2. （2）现按分层抽样方法．从高度在 $\text{[math]}$ 的树苗中任取6株树苗．从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在 $\text{[math]}$ 的概率．
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ 只能同时满足以下三个条件中的两个．
①函数f（x）的最大值是2；

②函数f（x）的图象可由函数 $\text{[math]}$ 左右平移得到；

③函数f（x）的对称中心与f（x）的对称轴之间的最短距离是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 的内角A、B、C所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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19. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，等比数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，并求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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20. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左右顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上异于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的动点，且 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 轴与点 $\text{[math]}$ ，试探究是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 为直径的圆恒过定点 $\text{[math]}$ ．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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