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浙教版2019中考数学复习专题之四边形综合题

更新时间：2019-04-23 浏览次数：971 类型：二轮复习

一、浙教版2019中考数学复习专题之四边形综合题 <p align=left >解答题</p>

1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
1. （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．
2. （2）当点E落在边BC上时，求t的值．
3. （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
4. （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
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2. 如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足 $\text{[math]}$ +|2b+12|+（c﹣4）²＝0．
1. （1）求B、C两点的坐标；
2. （2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积；
3. （3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的 $\text{[math]}$ ？直接写出此时点P的坐标．
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3. 如图1所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AB、AD的中点．如图2所示，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），射线BE、DF相交于点P．
1. （1）求证：△ABE≌△ADF；
2. （2）如图2，在△AEF旋转的过程中，若射线BE恰好通过AD的中点H，求PF的长；
3. （3）如图3，若将△AEF从图1的位置旋转至AE⊥BE，试求点P在旋转过程中的运动路线长．
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4. 如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F．
1. （1）求∠AFB的度数；
2. （2）求证：BF＝EF；
3. （3）连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．
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5. 如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．
1. （1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是；
2. （2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．
  ①在图2中，依据题意补全图形；
  
  ②求证：DF＝ $\text{[math]}$ FG．
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6. 在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，在BD上取一点H，使HQ＝HD，连接HQ，AH，PH．
1. （1）依题意补全图1；
2. （2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；
3. （3）若∠AHQ＝141°，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
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7. 如图，已知长方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝18，OC＝12，D、E分别为OA、BC上的两点，将长方形OABC沿直线DE折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平．
1. （1）点B的坐标是；
2. （2）求直线DE的函数表达式；
3. （3）设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动，运动时间为t秒，求当S_△PDE＝2S_△OCD时t的值．
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8. 如图，△ABC是等边三角形，AB＝6．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右作矩形PDEF，且PA＝PF，点M为AC中点，连接PM．设矩形PDEF与△ABC重叠部分的面积为S，点P运动的时间为t（t＞0）秒．
1. （1）填空：PD＝（用含t的代数式表示）．
2. （2）当点F落在BC上时，求t的值．
3. （3）求S与t之间的函数关系式．
4. （4）直接写出直线PM将矩形PDEF分成两部分的面积比为1：3时t的值．
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9. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
1. （1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
2. （2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
3. （3）设AE＝m，
  ①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
  
  ②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
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10. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．
1. （1）当AE＝8时，求EF的长；
2. （2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．
  ①求y与x的函数关系式；
  
  ②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
3. （3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
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11. 如图（1），在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG和正方形BCED，连接AD、CF，AD与CF交于点M．
1. （1）求证：△ABD≌△FBC；
2. （2）如图（2），已知AD＝8，求四边形AFDC的面积；
3. （3）在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，当∠ACB≠90°时，c²≠a²+b² ．在任意△ABC中，c²＝a²+b²+k．就a＝5，b＝4的情形，探究出k的取值范围．
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12. 长方形ABCD位于平面直角坐标系中平行移动．
1. （1）如图1，若AB⊥x轴且点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2），在边AB上有动点P，过点P作直线PQ交BC边于点Q，并使得BP＝2BQ．
  ①当S_△BPQ＝ $\text{[math]}$ S_{长方形ABCD}时，求P点的坐标．
  
  ②在直线CD上是否存在一点M，使得△MPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出M点坐标：若不存在，请说明理由．
2. （2）如图2，若AB⊥x轴且A、B关于x轴对称，连接BD、OB、OD，且OB平分∠CBD，求证：BO⊥DO．
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13. 已知：正方形ABCD的边长为2，点M在射线BC上，且∠BAM＝θ，射线AM交BD于点N，作CE⊥AM于点E．
1. （1）如图1，当点M在边BC上时，则θ的取值范围是（点M与端点B不重合）；∠NCE与∠BAM的数量关系是；
2. （2）若点M在BC的延长线时；
  ①依题意，补全图2；
  
  ②第（1）中的∠NCE与∠BAM的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．
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14. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接ME．
1. （1）如图1，若AB＝3，过点M作MG⊥ME交线段BC与点G，连接EG，判断△GEM的形状，并说明理由；
2. （2）如图2，若AB＝3 $\text{[math]}$ ，延长EM交线段CD的延长线于点F，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G
  ①直接写出线段AE长度的取值范围：
  
  ②判断△GEF的形状，并说明理由．
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15. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
1. （1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；
2. （2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为，请给出证明；
3. （3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，当点E落在线段AD的延长线上时，探究DE，DF，AD之间的数量关系（直接写出结论，不用加以证明）．
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16. 如图1，已知点O为正方形ABCD的对角线的交点，∠EOF＝90°，∠EOF绕着O点按逆时针方向旋转α角度，0°≤α≤180°，其中边OE从OC开始旋转，OE与OF分别交正方形的边于M，N两点．
1. （1）求证：OM＝ON；
2. （2）如图2，把题目条件中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，∠BAD＝∠EOF＝60°，其他条件不变，当α度数在什么范围时，OM＝ON仍成立，并说明理由；
3. （3）如图3，把题目条件中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，∠BAD＝∠EOF＝β（β为锐角），其他条件不变，当α度数在什么范围时，OM＝ON仍成立请直接写出结论．（用含β的式子表示）
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17. 在数学课上，老师要求学生探究如下问题：
1. （1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，PA＝2，PB＝ $\text{[math]}$ ，PC＝1，试求∠BPC的度数．
  李明同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP'，易得△P′PB是正三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPC＝；
2. （2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，PA＝ $\text{[math]}$ ，PB＝ $\text{[math]}$ ，PC＝1，试求∠BPC的度数．
3. （3）在图3中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA＝a，QB＝b，QC＝c（a＞b，a＞c），试猜想当a，b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第（2）问中∠BPC的度数相等，请直接写出结论．
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18. 如图（1），OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻转，使点O落在BC边上的点E处．
1. （1）请直接写出D、E两点的坐标；
2. （2）如图（2），线段AE上有一动点P（不与A，E重合），自点A沿AE方向做匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，过点P作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；
3. （3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形是等腰三角形？
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19. 已知四边形ABCD和AEFG都是正方形，
1. （1）如图1，E、G分别在AB、AD上，连CF，H为CF的中点，EH与DH的位置关系是，数量关系是．
2. （2）如图2，在图1的基础上，把正方形AEFG绕A点顺时针旋转α（α为锐角），（1）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
3. （3）如图3，在（2）旋转过程中，当点F落在BC上，且AE：AB＝时，有AB平分EF．
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20. 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，我们将这种变换记为[α，n]．
1. （1）如图①，对△ABC作变换[58°， $\text{[math]}$ ]得△AB′C′，则S_△AB′C′：S_△ABC＝；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；（直接写出结果）
2. （2）如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[α，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求α和n的值；
3. （3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝2，对△ABC作变换[α，n]得△AB′C′，变换后点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，则n的值为．（直接写出结果）
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21. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠DAE＝∠AEF．
1. （1）求证：EF＝BE+DF；
2. （2）线段AF的垂直平分线交AD于点G，连接FG，求证：∠EFG＝90°；
3. （3）在（2）的条件下，若tan∠DFG＝ $\text{[math]}$ ，EF＝ $\text{[math]}$ ，求S_△AEF ．
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22. 如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，边AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．
1. （1）直接写出D，E两点的坐标，D（），E（），直接判断四边形NMPE的形状为；
2. （2）当t为何值时，四边形NMPE是正方形？
3. （3）当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．
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23. 如图，已知正方形ABCD，AB＝2，E是对角线BD上一点，F是射线CB上一点，且EF＝EC．
1. （1）求证：AE＝EF；
2. （2）若BE＝AB，请在图2中补全图形，判断AF与EC的位置关系并加以证明；
3. （3）当点E从点B运动到点D的过程中，求线段FB与BE满足怎样的等量关系．
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24. 已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．
1. （1）如图1：当四边形ABCD是正方形时，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF满足的数量关系是，请说明理由；
2. （2）如图2：当AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF是∠BAD的一半，问：（1）中的数量关系是否还存在？（填是或否）
3. （3）在（2）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系．
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25. 问题探究
1. （1）如图1，已知锐角△ABC中，点D在BC边上，当线段AD最短时，请你在图中画出点D的位置．
2. （2）若一个四边形的四个顶点分别在一个三角形的三条边上，则称这个四边形为该三角形的内接四边形．
  如图2，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°．矩形BEFG是△ABC的内接矩形，若EF＝2，则矩形BEFG的面积为.
  
  如图3，在△ABC中，AB＝6 $\text{[math]}$ ，BC＝8，∠B＝45°，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC上．若EF＝2，求矩形DEFG的面积；
  
  问题解决：
3. （3）如图4，△ABC是一块三角形木板余料，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，木匠师傅想利用它裁下一块矩形DEFG木块，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC上，请在图4中画出对角线DF最短的矩形DEFG，请说明理由，并求出此时DF的长度．
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26. 已知△ABC是等边三角形，点P是平面内一点，且四边形PBCD为平行四边形，将线段CD绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF．
1. （1）如图1，当P为AC的中点时，求证：FC⊥PD；
2. （2）如图2，当P为△ABC内任一点时，连接PA，PF，AF试判断△PAF的形状，并证明你的结论；
3. （3）当B，P，F三点共线且AB＝ $\text{[math]}$ ，PB＝3时，求PA的长．
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27. 如图
1. （1）【探索发现】
  如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．
2. （2）【拓展应用】
  如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）
3. （3）【灵活应用】
  如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝30，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
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28. 如图
1. （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
  小明想到条件∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．
  
  证明：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
  
  ∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
  
  AB＝AD
  
  ∴△ABG≌△ADF．
  
  小明没有证明结束，请你补齐证明过程．
  
  基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题
2. （2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，
  求证：EF²＝BE²+CF²；
  
  拓展延伸
3. （3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．
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29. 如图1，正方形ABOC中，AF⊥AE交OC的延长线于F，E在线段OB上运动，∠OEF的平分线交AO于D．
1. （1）如图1，求证：∠AEF＝45°；
2. （2）过D作DH⊥EF于H，试探究DH、AC、EF之间的数量关系并说明理由．
3. （3）在第（2）题的条件下，如图点K为ED的延长线上一点，且∠EKO＝∠EFO，KG⊥OC于H，EF＝13，DH＝2，直接写出OG的长．
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30. 如图1，正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD边上，点M是AE与BF的交点，且AE＝BF；
1. （1）求证：BE＝CF；
2. （2）如图2，以CF为边，作正方形CFGH，H在BC的延长线上，连接DH，判断BF与DH的数量关系和位置关系并证明；
3. （3）如图3，连接AG，交DH于P点，求∠APD的度数．
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31. 如图
1. （1）【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：．
2. （2）【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
3. （3）【结论应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．直接写出结果．
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32. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
1. （1）概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
2. （2）性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
3. （3）问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则
  ①求证：△AGB≌△ACE
  
  ②GE＝．
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33. 将长方形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C，A分别在x轴和y轴上，在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠，OA＝12，OC＝20．如图所示，
1. （1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点D的坐标为；点E的坐标为；
2. （2）如图②，当点O落在长方形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G．求证：EH＝CH；
3. （3）在（2）的条件下，设H（a，b），求出a与b之间的关系式；
4. （4）如图③，将长方形OABC变为正方形，OC＝20，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度．
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34. 如图
1. （1）发现：如图1，点A为一动点，点B和点C为两个定点，且BC＝a，AB＝b．（a＞b）
  填空：当点A位于时，线段AC的长取得最小值，且最小值为（用含a，b的式子表示）
2. （2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，
  如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
  
  ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
  
  ②直接写出线段BE长的最小值．
  
  ③如图3所示，分别以AB，AC为边，作正方形ADEB和正方形ACFG，连接CD，BG．图中线段CD，BG的关系是，线段BG的最大值是．
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35. 如图

如图①，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，6），点B在第一象限．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线匀速移动（即：沿着长方形移动一周）．点P移动的时间为ts．
1. （1）点B的坐标为；当t＝4s时，点P的坐标为．
2. （2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
3. （3）如图②，若将长方形OABC沿着AC翻折，点B与点B'重合，边AB'与y轴交于点E，求出点E的坐标．
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36. 菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
1. （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；
2. （2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝ $\text{[math]}$ AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；
3. （3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2 $\text{[math]}$ ，当CF＝1时，请直接写出BE的长．
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37. 如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，将一个∠EDF＝60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转这个三角形纸片，使它的两边分别交CB，BA（或它们的延长线）于点E，F；
1. （1）当CE＝AF时，如图①，DE与DF的数量关系是；
2. （2）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图②，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
3. （3）再次旋转三角形纸片，当点E，F分别在CB，BA的延长线上时，如图③，请直接写出DE与DF的数量关系．
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38. 已知，在正方形ABCD中，AB＝5，点F是边DC上的一个动点，将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABE，点F的对应点E落在CB的延长线上，连接EF．
1. （1）如图1，求证：∠DAF+∠FEC＝∠AEF；
2. （2）将△ADF沿AF翻折至△AGF，连接EG．
  ①如图2，若DF＝2，求EG的长；
  
  ②如图3，连接BD交EF于点Q，连接GQ，则S_△QEG的最大值为．
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39. 已知，在矩形ABCD中，BC＝2，连接BD，把△ABD绕点B顺时针旋转后得到△FBE，旋转角度小于360°．
1. （1）如图1，当点E在BC的延长线上，且直线EF过点D，求AB的长．
2. （2）若AB＝4，如图2，取AB边的中点P，过点P作直线EF的垂线PH，垂足为H．
  ①若PH交线段BD于点G，当△BPG为等腰三角形时，求BG的长；
  
  ②直接写出PH长的取值范围．
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40. 阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
1. （1）如图1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
  解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；
2. （2）问题解决：
  如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠BAD，求证：BE+DF＝EF．
3. （3）问题拓展：
  如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．
  
  求证：AC﹣AE＝ $\text{[math]}$ AF．
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