“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角

1. (2016高一下·烟台期中) “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 $\text{[math]}$ ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2021高一下·三明期末) 青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况，该校三个年级的学生人数如下表：

年级

高一

高二

高三

人数

550

500

450

已知在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（）

A . 18 B . 20 C . 22 D . 24

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2. (2022高一下·临潼期末) 为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间 $\text{[math]}$ ），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a的值为（）

A . 0.028 B . 0.030 C . 0.280 D . 0.300

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3. (2021高一下·平顶山期末) 从区间 $\text{[math]}$ 上随机抽取 $\text{[math]}$ 个数 $\text{[math]}$ ，成 $\text{[math]}$ 个数组 $\text{[math]}$ ，其中三个数的平方和小于1的数组共有 $\text{[math]}$ 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $\text{[math]}$ 的近似值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2023高一下·定远期末) “冰墩墩”“雪容融”分别是 $\text{[math]}$ 年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，它们形象活泼可爱，分别代表着创造非凡、探索未来、点亮梦想、温暖世界，体现了运动员的拼搏精神。现从分别印有“冰墩墩”“雪容融”“福娃贝贝”“福娃晶晶”“福娃欢欢”“福娃迎迎”“福娃妮妮”的这 $\text{[math]}$ 个图案的卡片 $\text{[math]}$ 卡片的形状、大小、质地均相同 $\text{[math]}$ 中随机选取 $\text{[math]}$ 张，则“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 从分别写有1，2，3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，连续抽取4次，则恰好有2次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高一下·洛阳期末) 有2人从一座 $\text{[math]}$ 层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该 $\text{[math]}$ 人在不同层离开电梯的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是.

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2. (2022高一下·电白期末) 一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎（Omicron）．根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔（Beta）变异株和德尔塔（Delta）变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）随时间变化的对比图，则下列说法正确的有（）

A . 奥密克戎变异株感染的病例不到25天占据新增病例的80%多 B . 德尔塔变异株用了100天占据该地区约50%的新增病例 C . 贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强 D . 德尔塔变异株感染的病例占新增病例80%用了约75天

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3. 下列说法错误的是（）

A . 概率是随机的，在试验前不能确定 B . 由生物学知道生男生女的概率均为 $\text{[math]}$ ，一对夫妇生两个孩子，则一定生一男一女 C . 频率是客观存在的，与试验次数无关 D . 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

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1. (2022·沈阳二模) 甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．
1. （1）甲在每次挑战中，成功的概率都为 $\text{[math]}$ ．设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望；
2. （2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．
  （ⅰ）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
  （ⅱ）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．
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2. (2021·陕西模拟) 某社区随机选取了部分居民，调查他们对今年春节期间社区组织文艺和体育活动的意见(每人只选择其中一项)，调查结果如下表所示：

文艺活动

体育活动

男性居民

15

20

女性居民

25

10
1. （1）判断能否有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关；
2. （2）用分层抽样方法，在样本中选择文艺活动的居民中按性别抽取8人，再从这8人中随机选3人，记这3人中男性居民的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
  附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
  
  P（K²≥k₀）
  
  0.050
  
  0.010
  
  0.001
  
  k₀
  
  3.841
  
  6.635
  
  10.828
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3. (2021高一下·广州期末) 2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速 $\text{[math]}$ 分成六段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到如图的频率分布直方图.
1. （1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；
2. （2）现从平均车速在区间 $\text{[math]}$ 的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间 $\text{[math]}$ 上的概率；
3. （3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间 $\text{[math]}$ 的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全.假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？
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