辽宁省沈阳市2022届高三下学期数学二模试卷

更新时间：2022-07-01 浏览次数：138 类型：高考模拟

一、单选题

1. 复数z满足 $\text{[math]}$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . {5}

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3. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为d， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分不必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为 $\text{[math]}$ ，其中k为常数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）

A . 5% B . 3% C . 2% D . 1%

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5. 已知数列 $\text{[math]}$ 是递增的等比数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则正整数k等于（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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6. 现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是（）

A . 9：4 B . 9：5 C . 3：2 D . 3：1

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的两个焦点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点M，N在C上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的两条切线，也是曲线 $\text{[math]}$ 的两条切线，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . -1 D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 如图，在 $\text{[math]}$ 方格中，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则（）

A . 甲的10次成绩的极差为4 B . 甲的10次成绩的75%分位数为8 C . 甲和乙的20次成绩的平均数为8 D . 甲和乙的20次成绩的方差为1

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11. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为梯形， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 平面PAD内任意一条直线都不与BC平行 B . 平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行 C . 平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行 D . 平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行

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12. 已知奇函数 $\text{[math]}$ 在R上可导，其导函数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 恒成立，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，在C上有一点P， $\text{[math]}$ ，则点P到x轴的距离为．

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14. 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. 将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这5名同学从左至右排成一排，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相邻且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间恰好有1名同学的排法有种.

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16. 以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）的名字命名的第一类切比雪夫多项式 $\text{[math]}$ 和第二类切比雪夫多项式 $\text{[math]}$ ，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的特殊函数． $\text{[math]}$ 有许多良好的结论，例如：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于正整数 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 成立，② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成立．由上述结论可得 $\text{[math]}$ 的数值为．

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足对任意正整数 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ 成立．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的前99项和．
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18. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的形状并给出证明；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）在线段PD上是否存在一点M，使二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求三棱锥 $\text{[math]}$ 体积；若不存在，请说明理由．
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20. 甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．
1. （1）甲在每次挑战中，成功的概率都为 $\text{[math]}$ ．设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望；
2. （2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．
  （ⅰ）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
  （ⅱ）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为2，且经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）经过椭圆右焦点F且斜率为 $\text{[math]}$ 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使 $\text{[math]}$ 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求a的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
  ① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ ．
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