如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．

1. (2019八上·桂林期末) 如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．
1. （1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
3. （2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；
5. （3）如图③，在旋转过程中，设 AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）

能力提升真题演练换一批

1. (2022八上·杭州期中) 如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D ，连接CD交OA于M ，交OB于N.
1. （1） ①若∠AOB=60°，则∠COD= °；
  ②若∠AOB=α，求∠COD的度数.
2. （2）若CD=4，则△PMN的周长为.
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2. (2022八上·汶上期中) 已知：在△ABC中，AC=7．
1. （1）如图①，分别以AB，BC为边，向外作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，则AECD（填“＞”“＜”或“=”）；
2. （2）如图②，分别以AB，BC为腰，向内作等腰△ABD和等腰△BCE，∠ABD=∠CBE且小于 $\text{[math]}$ ∠ABC，连接AE，CD，请猜想AE与CD的数量关系，并说明理由；
3. （3）如图③，以AB为腰向内作等腰△ABD，以BC为腰向外作等腰△BCE，且∠ABD=∠CBE，已知点A到直线DE的距离为2，AE=8，求点D到直线AE的距离．
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3. (2021八上·秦都月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点A为圆心、 $\text{[math]}$ 长为半径的弧交 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为点E.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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1. (2021·深圳) 在正方形 $\text{[math]}$ 中，等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，H为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，发现 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为定值.
1. （1） ① $\text{[math]}$ ▲ ；
  ② $\text{[math]}$ ▲ .
  
  ③小明为了证明①②，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于O ，连接 $\text{[math]}$ ，证明了 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，请你按他的思路证明①②.
2. （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）
  求① $\text{[math]}$ （用k的代数式表示）
  
  ② $\text{[math]}$ （用k、 $\text{[math]}$ 的代数式表示）
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2. (2022·株洲) 如图所示，点 $\text{[math]}$ 在四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形.
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3. (2021·新疆) 如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作 $\text{[math]}$ ，交BC的延长线于点E，且CD平分 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：DE是⊙O的切线；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BF的长.
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