江苏省泰州市2024届高三2月调研测试数学试题

更新时间：2024-04-22 浏览次数：8 类型：月考试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 有一组样本数据9，4，5，7，8，2，则样本中位数为（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分不必要条件

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3. 每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则X介于－2~2的食盐袋数大约为（）

A . 4 B . 48 C . 50 D . 96

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4. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是夹角为60°的两个单位向量，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . －1 B . 0 C . $\text{[math]}$ D . 1

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6. 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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7. 已知点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，过点P作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数 D . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恰有3个零点

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10. 已知正方形ABCD的边长为4，点E在线段AB上， $\text{[math]}$ ．沿DE将 $\text{[math]}$ 折起，使点A翻折至平面BCDE外的点P，则（）

A . 存在点P，使得 $\text{[math]}$ B . 存在点P，使得直线 $\text{[math]}$ 平面PDE C . 不存在点P，使得 $\text{[math]}$ D . 不存在点P，使得四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为8

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11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为F，点P在椭圆上，PF的中点为Q，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则椭圆离心率的值为．

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14. 将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若函数在点 $\text{[math]}$ 处的切线过原点，求实数a的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值．
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16. 某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷．
1. （1）若执行规则A，求抛掷次数恰为1次的概率；
2. （2）若执行规则B，证明：抛掷次数的数学期望不大于3．
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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．
1. （1）证明：直线 $\text{[math]}$ 平面PAD；
2. （2）当二面角 $\text{[math]}$ 为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
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18. 已知抛物线E： $\text{[math]}$ ，焦点为F，过F作y轴的垂线 $\text{[math]}$ ，点P在x轴下方，过点P作抛物线E的两条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交x轴于A，B两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于C，D两点．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与抛物线E相切于C，D两点，求点P的坐标；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 的外接圆过定点；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 面积S的最小值．
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ，
  ①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
  ②若关于m的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为M，集合M中的最小元素为8，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．
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