湖南省长沙市大联考2023-2024学年高三上学期期末考试数...

更新时间：2024-03-29 浏览次数：24 类型：期末考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高三上·黔东南模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的实部与虚部分别为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·广州模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·张家界模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象大致形状是（）

A . B . C . D .

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知角 $\text{[math]}$ 的始边为x轴非负半轴，终边经过点 $\text{[math]}$ ，将角 $\text{[math]}$ 的终边顺时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到角 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知抛物线E： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）点为F ，准线为l ，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B ，若 $\text{[math]}$ （O为坐标原点），且△ABF的面积为 $\text{[math]}$ ，则E的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 一个轴截面是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球 $\text{[math]}$ 后，再放入一个球 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积与容器表面积之比的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若关于x的方程 $\text{[math]}$ 有4个不同实根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0．

9. 若a ， $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ …为自然对数的底数，k ， b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时 C . $\text{[math]}$ D . 若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃

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11. 欧拉函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 当n为奇数时， $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 为等比数列 D . 数列 $\text{[math]}$ 的前n项和小于 $\text{[math]}$

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12. (2024高三上·广州模拟) 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，已知M ， N ， P分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，Q为平面 $\text{[math]}$ 上的动点，且直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体所得的截面面积为 $\text{[math]}$ C . 点Q的轨迹长度为 $\text{[math]}$ D . 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. (2024高三上·广州模拟) $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（用数字作答）.

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14. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， 2，3，…，100），经计算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则估计该市高中生身体素质的合格率为．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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15. (2024高三上·广州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则 $\text{[math]}$ .

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16. 在1，2，…，50中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， A为锐角，△ABC的面积为S ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断△ABC的形状，并说明理由；
2. （2）如图，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为△ABC内一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求OB的长．
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19. 如图，已知斜四棱柱 $\text{[math]}$ ，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD ，点 $\text{[math]}$ 在底面ABCD的射影为O ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：平面ABCD⊥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若M为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面MBC所成角的正弦值．
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20. (2023高三上·广州月考) 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神. 甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.
1. （1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开. 当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
2. （2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒?
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21. (2024高三上·广州模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆 $\text{[math]}$ 内切，记点P的轨迹为曲线E ．
1. （1）求E的方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线AM ， AN分别与曲线E交于点S ， T（S ， T异于A）， $\text{[math]}$ ，垂足为H ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求k的最大值．
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