重庆市渝北名校2023-2024学年高三上学期数学12月月考...

更新时间：2024-02-22 浏览次数：11 类型：月考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为 $\text{[math]}$ ，第2次对折后的纸张厚度为 $\text{[math]}$ ，以此类推，设纸张未折之前的厚度为 $\text{[math]}$ 毫米，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若正四棱台的上、下底面的面积分别为2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为2，则该正四棱台的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 28

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若对任意的正数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. M点是圆 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的弦，且 $\text{[math]}$ ， N为 $\text{[math]}$ 的中点.则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. 设函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），若存在实数a使得 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上最小值为 $\text{[math]}$ D . 将函数 $\text{[math]}$ 图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象

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10. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设直线l与椭圆C交于M ， N两点，且点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ C . 直线l的方程为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$

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11. (2023高二上·郫都月考) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 上一动点，下列结论正确的是（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的正弦最小值为 $\text{[math]}$

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12. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数且定义域为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 为偶函数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．

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14. 各项均为正数的等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为．

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16. 在直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 内动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为等差数列；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. (2022高三上·珠海期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求B；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， D为边 $\text{[math]}$ 上的一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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19. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A ， B ， C三个项目，三个测试项目相互不受影响.
1. （1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从 $\text{[math]}$ 三个项目中选一项测试，且他测试 $\text{[math]}$ 三个项目“通过”的概率分别为 $\text{[math]}$ .求他第一项测试“通过”的概率；
2. （2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择 $\text{[math]}$ 的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为 $\text{[math]}$ ，第三项通过的概率为 $\text{[math]}$ .若他获得一等奖的概率为 $\text{[math]}$ ，求他获得二等奖的概率 $\text{[math]}$ 的最小值.
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20. 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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21. 与双曲线 $\text{[math]}$ 有共同的焦点的椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 存在两个正实数根 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .
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