2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.3 等比数...

更新时间：2023-09-10 浏览次数：59 类型：同步测试

一、选择题

1. (2021高二上·长春月考) 河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的2倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数为（）

A . 1016 B . 512 C . 128 D . 1024

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2. (2023高二下·湖口期中) 在递增等比数列 $\text{[math]}$ 中，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的等差中项，则 $\text{[math]}$ （）

A . 28 B . 20 C . 18 D . 12

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3. (2023高二下·江门期末) 设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项积，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，则 $\text{[math]}$ （）

A . 8 B . 9 C . 10 D . 11

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4. (2023高一下·宁波期末) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高二下·宝安期中) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项是（）

A . 1 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三下·吉林) 在数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高二下·杭州) “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制 $\text{[math]}$ “十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\text{[math]}$ 而早在 $\text{[math]}$ 世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 $\text{[math]}$ 若第一个单音的频率为 $\text{[math]}$ ，则第四个单音的频率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·房山模拟) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为等比数列”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. (2023·全国甲卷) 已知正项等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 前n项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 7 B . 9 C . 15 D . 30

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10. (2023·天津卷) 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . 18 C . 54 D . 152

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11. (2023高二下·钦州月考) 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数，已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，则 $\text{[math]}$ （）

A . 999 B . 749 C . 499 D . 249

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12. (2023高二下·青浦期末) 已知非常数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 为等比数列 B . 存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 为等差数列 C . 存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 为等差数列 D . 存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 为等比数列

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二、多项选择题

13. (2023高二下·十堰期末) 设数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2023高二下·湖口期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为等比数列 B . $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为递增数列 D . $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$

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15. (2023·浙江模拟) 已知递增数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，且其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 存在公差为1的等差数列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 存在公比为2的等比数列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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16. (2023·上虞模拟) 记正项等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则下列数列为等比数列的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. (2023高二下·杭州期中) 已知正项等比数列 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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18. (2023高二下·定远期末) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

19. (2023高二下·深圳期末) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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20. (2023高二下·十堰期末) 设等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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21. (2023高二下·青浦期末) 设等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为2，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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22. (2023高二下·定远期末) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于．

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23. (2023高二下·深圳期中) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前三项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的公比为．

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24. (2023高二下·天河期末) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题

25. (2023高二下·安康月考) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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26. (2023高二下·保山期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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27. (2023高三上·阳江开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是其前 $\text{[math]}$ 项的和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，并证明 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ .
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28. (2023·月考) 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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29. (2023高三上·深圳月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 各项都不为0，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .
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30. (2023高二下·揭阳期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ ，给出以下三个条件：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 为等比数列；③ $\text{[math]}$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
1. （1）从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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