备考2023年中考数学压轴题训练——三角形

更新时间：2023-05-14 浏览次数：140 类型：三轮冲刺

一、真题

1. (2022·鄂尔多斯) 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
1. （1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；
2. （2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
  ①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
  ②连接DM，求∠EMD的度数；
  ③若DM＝6 $\text{[math]}$ ， ED＝12，求EM的长．
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2. (2022·北部湾) 已知 $\text{[math]}$ ，点A，B分别在射线 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ .
1. （1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .判断OD与 $\text{[math]}$ 有什么数量关系?证明你的结论：
2. （2）如图②，若 $\text{[math]}$ ，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
3. （3）如图③，若 $\text{[math]}$ ，当点A，B运动到什么位置时， $\text{[math]}$ 的面积最大?请说明理由，并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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3. (2022·重庆) 在△ ABC中，∠BAC=90° ，AB=AC= $\text{[math]}$ ，D为 BC的中点，E，F分别为AC， AD 上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，连接FG， AG．
1. （1）如图1，点 E 与点 C 重合，且 GF 的延长线过点 B ，若点 P 为 FG 的中点，连接 PD，求 PD的长；
2. （2）如图 2，EF 的延长线交 AB 于点M，点N在 AC上， ∠AGN=∠AEG 且GN=MF，求证：AM+AF= $\text{[math]}$ AE
3. （3）如图3，F为线段 AD上一动点，E为 AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接 EH，将△ BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△ B'EH'，连接 B'G，直接写出线段 B'G的长度的最小值
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4. (2022·陕西)
1. （1）【问题提出】
  如图1， $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 的中线，点P在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为.
2. （2）【问题探究】
  如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .过点A作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过点P作直线 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点O、E，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.
3. （3）【问题解决】
  如图3，现有一块 $\text{[math]}$ 型板材， $\text{[math]}$ 为钝角， $\text{[math]}$ .工人师傅想用这块板材裁出一个 $\text{[math]}$ 型部件，并要求 $\text{[math]}$ .工人师傅在这块板材上的作法如下：
  ①以点C为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ；
  
  ②作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线l，与 $\text{[math]}$ 于点E；
  
  ③以点A为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交直线l于点P，连接 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ .
  
  请问，若按上述作法，裁得的 $\text{[math]}$ 型部件是否符合要求？请证明你的结论.
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5. (2022·宁夏) 综合与实践
1. （1）知识再现
  如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边向外作的正方形的面积为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
2. （2）问题探究
  
  如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
  如图 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是．
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边向外作的等边三角形的面积为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．
4. （4）实践应用
  如图4，将图 $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转一定角度至 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转一定角度至 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
5. （5）如图5，分别以图 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为直径的半圆柱的体积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，柱体的高 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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6. (2022·新疆) 如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到三角形AED，连接BE.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并给出证明；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式.
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二、模拟预测

7. (2023·海曙模拟) 已知 E在△ABC内部(如图①)，等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC
1. （1）求证AE=DC；
2. （2）当AE⊥BD时，求CD的长；
3. （3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点(如图②)，求旋转过程中EF的取值范围．
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8. (2023·柳州模拟) 综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 $\text{[math]}$ 到E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，构造 $\text{[math]}$ ，经过推理和计算使问题得到解决

请回答：
1. （1）小明证明 $\text{[math]}$ 用到的判定定理是：____；（填入你选择的选项字母）
  
  A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$ 的取值范围是.
3. （3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
  参考小明思考问题的方法，解决问题：
  如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边的中点，G、F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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9. (2023·宾阳模拟) 综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点D旋转，射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ 交于E，F两点，如图1所示.
1. （1）操作发现：如图2，当E，F分别是 $\text{[math]}$ 的中点时，试猜想线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；
2. （2）类比探究：如图3，当E，F不是 $\text{[math]}$ 的中点，但满足 $\text{[math]}$ 时，求证 $\text{[math]}$ ；
3. （3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线 $\text{[math]}$ 的中点O重合，射线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于E，F两点，且满足 $\text{[math]}$ ，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积.
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10. (2023·黑龙江模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 右侧， $\text{[math]}$ 与过点A且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线交于点E，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 都在 $\text{[math]}$ 的左侧时，如图①，线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的两侧时，如图②，线段 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 都在AC的右侧时，如图③，线段 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
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11. (2023·利津模拟) 综合运用．
1. （1）如图（ $\text{[math]}$ ），已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）如图（ $\text{[math]}$ ），将（ $\text{[math]}$ ）中的条件改为：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点都在直线 $\text{[math]}$ 上，并且有 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为任意锐角或钝角．请问结论 $\text{[math]}$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
3. （3）拓展与应用：如图（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点所在直线 $\text{[math]}$ 上的两动点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点互不重合），点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 平分线上的一点，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由．
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12. (2023·温州模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求线段 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
3. （3）如图2，连结 $\text{[math]}$ .
  ①当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值.
  ②以点 $\text{[math]}$ 为旋转中心，将线段 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得线段 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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13. (2023·绿园模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将 $\text{[math]}$ 绕点P顺时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，设点P的运动时间为t秒．
1. （1）用含t的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长度为．
2. （2）当点N落在直线BC上时，求t的值．
3. （3）连接QN，线段QN的中点记为点E，连接PE，当线段PE与 $\text{[math]}$ 的某条边的长度相等时，求t的值．
4. （4）当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分为四边形时，是否存在一点O，使点O到这个四边形的各个顶点的距离都等于 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由．
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14. (2023·灯塔模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），以 $\text{[math]}$ 为一边，在 $\text{[math]}$ 的下方作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；
3. （3）如图3，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，以 $\text{[math]}$ 为一边，在 $\text{[math]}$ 的下方作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ．试探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量之间的关系，并说明理由．
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15. (2023·邗江模拟) 翻开数学发展史，我们就知道数学不仅是抽象、严谨的，还有另外一面，人类从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断发展数学，可见，数学实验不仅是数学家研究数学的方式，也是学生学习数学的一种重要方式，在某次数学社团活动中，几位同学利用三角板进行了如下的实数学验，请大家在这一数学实验的基础上思考并回答相关问题：几位同学把两块完全相同的等腰直角三角板按图1方式摆放，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点F在线段 $\text{[math]}$ 上，点A与点D重合．
1. （1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）将三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点F沿 $\text{[math]}$ 方向滑动，同时顶点D沿 $\text{[math]}$ 方向在射线 $\text{[math]}$ 上滑动，如图2．
  ①当点F恰好是线段 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的度数；
  ②当点F从初始位置滑动到点A处时，请直接写出点E所经过的路径长；
3. （3）在（2）的条件下，过点D，F分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂线，两条垂线相交于点P，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长度是否为定值？如果是，请求出结果；如果不是，请说明理由．
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16. (2023·济南模拟) 已知在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，请直接写出点C的坐标，若点C在反比例函数 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，若将 $\text{[math]}$ 延x轴向右平移得到 $\text{[math]}$ ，平移距离为m，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在反比例函数 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ ， m；
3. （3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．
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