北京市丰台区2023届高三上学期数学期末试卷

更新时间：2023-01-30 浏览次数：51 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为（）

A . $\text{[math]}$ B . 24 C . $\text{[math]}$ D . 48

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 下列函数是偶函数，且在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，焦点为F．若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则m的值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 2或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为3的正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点M为底面上的动点，M到 $\text{[math]}$ 的距离记为d，若 $\text{[math]}$ ，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：
若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（）

A . 45% B . 48% C . 50% D . 52%

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二、填空题

11. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

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12. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是．

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有最小值无最大值，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 存在两个极值点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，给出下列四个结论：
①函数 $\text{[math]}$ 有零点；
②a的取值范围是 $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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15. 在等差数列 $\text{[math]}$ 中，公差d不为0， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等比数列，则 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ 有最大值．

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三、解答题

16. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点F是线段 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 $\text{[math]}$ 存在且唯一确定，求 $\text{[math]}$ 的面积．
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ ；
  条件③： $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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18. 非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组： $\text{[math]}$ ，并整理得到如下频率分布直方图：
1. （1）求a的值；
2. （2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点．记直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值；
3. （3）证明函数 $\text{[math]}$ 只有一个零点．
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21. 设 $\text{[math]}$ 为正实数，若各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．则称数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列．
1. （1）判断以下两个数列是否为 $\text{[math]}$ 数列：
  数列 $\text{[math]}$ ：3，5，8，13，21；
  数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 5，10．
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，是否存在正实数 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 数列？若存在，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，说明理由．
3. （3）若各项均为整数的数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 数列，且 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 为150，求 $\text{[math]}$ 的最小值及取得最小值时 $\text{[math]}$ 的所有可能取值．
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