设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列．

能力提升真题演练换一批

1. (2022高三上·海安期末) 已知数列{an}满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）请你在①，②中选择一个证明：
  ①若 $\text{[math]}$ ，则{bn}是等比数列；
  ②若 $\text{[math]}$ ，则{bn}是等差数列．
  注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
2. （2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．
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2. (2023高三上·邵阳月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处有极值2.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最值.
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3. (2021高三上·福州期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且 $\text{[math]}$ Sn＝2n﹣1.
1. （1）求数列{an}的通项公式，
2. （2）设函数f(x)＝( $\text{[math]}$ )x，数列{bn}满足条件b₁＝f(﹣1)，f(bn₊₁) $\text{[math]}$ ．
  ①求数列{bn}的通项公式，
  ②设cn $\text{[math]}$ ，求数列{cn}的前n项和Tn．
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1. (2021·天津) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程：
2. （2）证明 $\text{[math]}$ 存在唯一的极值点
3. （3）若存在a ，使得 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 成立，求实数b的取值范围．
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2. (2022·上海) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为等差数列，公差为d，对任意 $\text{[math]}$ ，均满足 $\text{[math]}$ ，求d的取值范围.
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3. (2021·全国乙卷) 设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
1. （1）求a；
2. （2）设函数g（x）= $\text{[math]}$ ，证明：g（x）＜1.
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