广东省广州市四校联考2022-2023学年高二上学期数学期中...

更新时间：2022-12-28 浏览次数：51 类型：期中考试

一、单选题

1. 过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线，则切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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2. 已知各项为正的数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . 3 D . 2

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3. 已知过点 $\text{[math]}$ 的动直线l与圆C： $\text{[math]}$ 交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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4. 阅读材料：空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 且一个法向量为 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是两平面 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交线，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高三上·惠州开学考) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 若 $\text{[math]}$ ，椭圆C： $\text{[math]}$ 与椭圆D： $\text{[math]}$ 的离心率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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7. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上不与左､右顶点重合的一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ）的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆上一点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的内切圆的半径 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率）的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知直线 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 存在实数 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切 B . 若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为4 C . 对于 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 上有4个点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，对任意 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 恒过直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的交点

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10. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 的截面与棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 设截面 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，短轴长为 $\text{[math]}$ ， P为C上任意一点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为C的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A . 存在点P，使得 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ C . C上存在4个不同的点P，使得 $\text{[math]}$ 是直角三角形 D . $\text{[math]}$ 内切圆半径的最大值为 $\text{[math]}$

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，则下列说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 为递减数列 B . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 为递增数列 C . 若a＝3，则 $\text{[math]}$ 的可能取值为 $\text{[math]}$ D . 若a＝3，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 在△ABC中，已知 $\text{[math]}$ ，则其外接圆的直径为.

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14. 对于数列 $\text{[math]}$ 定义： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ），称数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶差分数列.如果 $\text{[math]}$ （常数）（ $\text{[math]}$ ），那么称数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 阶等差数列.现在设数列 $\text{[math]}$ 是2阶等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为.

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15. (2022高二上·洛阳期中) 在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 内动点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为．

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16. (2020高三上·湖北期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中， $\text{[math]}$ 的面积的最大值为 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ 成立的点 $\text{[math]}$ 有且只有 $\text{[math]}$ 个.当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的下方运动时，记 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，内切圆半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为， $\text{[math]}$ 的外接圆面积的取值范围为.

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四、解答题

17. 设{a_n}是公比为正数的等比数列a₁=2，a₃=a₂+4．
1. （1）求{a_n}的通项公式；
2. （2）设{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n ．
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18. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，D为边BC上一点，若 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：
  ①AD平分∠BAC，
  ② $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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19. (2022高二上·洛阳期中) 已知两定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P满足 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
2. （2）记动点P的轨迹为曲线E，把曲线E向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 被曲线 $\text{[math]}$ 截得的最短的弦长；
3. （3）已知点M的坐标为 $\text{[math]}$ ，点N在曲线 $\text{[math]}$ 上运动，求线段MN的中点H的轨迹方程．
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20. (2022高三上·浙江开学考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.
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21. (2021·深圳模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆C的左、右焦点．
1. （1）求椭圆C的方程．
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 分别作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与椭圆交于不同两点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点P．若 $\text{[math]}$ ，且点Q满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的离心率相同.点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的右顶点和上顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为切点，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，求证： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线（ $\text{[math]}$ 为坐标原点）.
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