广东省深圳市红岭中学2021届高三下学期第五次统一考试数学试...

更新时间：2021-06-26 浏览次数：115 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 9 B . 8 C . 6 D . 5

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2. 已知直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交”是“ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是素数．素数对 $\text{[math]}$ 称为孪生素数．从15以内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. $\text{[math]}$ 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 的单位：天）的 $\text{[math]}$ 模型： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为最大确诊病例数.当 $\text{[math]}$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $\text{[math]}$ 的值约为 $\text{[math]}$ （）

A . 10 B . 13 C . 63 D . 66

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6. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ (a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形 $\text{[math]}$ 的边长为4，圆 $\text{[math]}$ 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点 $\text{[math]}$ 在正六边形的边上运动， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的直径，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 是公比为8的等比数列 C . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前2020项和为4040 D . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前2020项和为 $\text{[math]}$

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10. 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 展开式中二项式系数和为729 D . $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图像如图所示，则下列关于函数 $\text{[math]}$ 的说法中正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 最靠近原点的零点为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的图像在 $\text{[math]}$ 轴上的截距为 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 是偶函数 D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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12. 已知过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点在准线上的射影分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与抛物线相切

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三、填空题

13. 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ ．

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14. 重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布 $\text{[math]}$ ，现任取10个奉节脐橙，设其果实横径在 $\text{[math]}$ 的个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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15. (2021·肇庆模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2021·张家口模拟) 早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把 $\text{[math]}$ 按 $\text{[math]}$ 计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．

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四、解答题

17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ $\text{[math]}$ ，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
1. （1）若PB＝ $\text{[math]}$ ，求PA；
2. （2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
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18. 数列 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等比数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）是否存在大于2的正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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19. 如图，在正六边形 $\text{[math]}$ 中，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，O，H分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆C的左、右焦点．
1. （1）求椭圆C的方程．
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 分别作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与椭圆交于不同两点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点P．若 $\text{[math]}$ ，且点Q满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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21. 公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(B.Pascal)提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat)示讨论了这个问题，后来惠更斯(C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢 $\text{[math]}$ 局，谁便赢得全部赌注 $\text{[math]}$ 元.每局甲赢的概率为 $\text{[math]}$ ，乙赢的概率为 $\text{[math]}$ ，且每局赌博相互独立.在甲赢了 $\text{[math]}$ 局，乙赢了 $\text{[math]}$ 局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 $\text{[math]}$ 局则赌博意外终止的情况，甲､乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比 $\text{[math]}$ 分配赌注.
1. （1）甲､乙赌博意外终止，若 $\text{[math]}$ ，则甲应分得多少赌注？
2. （2）记事件 $\text{[math]}$ 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当 $\text{[math]}$ 时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率 $\text{[math]}$ ，并判断当 $\text{[math]}$ 时，事件 $\text{[math]}$ 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于 $\text{[math]}$ ，则称该随机事件为小概率事件.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 单调递增，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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