福建省三校联考2022-2023学年高二上学期数学期中考试试...

更新时间：2022-12-26 浏览次数：64 类型：期中考试

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的表面积为（）

A . 27π B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 16π

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3. 已知直线 $\text{[math]}$ 分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 面积的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 $\text{[math]}$ 是锐角 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ 上的两点，试在 $\text{[math]}$ 边上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 最大.”如图，其结论是：点 $\text{[math]}$ 为过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点且和射线 $\text{[math]}$ 相切的圆与射线 $\text{[math]}$ 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，给定两点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上移动，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，点 $\text{[math]}$ 的横坐标是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 1或 $\text{[math]}$ D . 1或 $\text{[math]}$

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5. (2022高二上·福州月考) 如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是 $\text{[math]}$ 椭圆的长轴， $\text{[math]}$ 垂直于地面且与球相切， $\text{[math]}$ ，则椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面ABC是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P－ABM的外接球．若D是球0上一点，则三棱锥D－PAC的体积的最大值是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高二上·浙江期中) 已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上不同的三点，直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高二上·山西期中) 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为6，P是四面体 $\text{[math]}$ 外接球的球面上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2022·广东模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 为等比数列 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 $\text{[math]}$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）

A . 曲线C围成的图形有4条对称轴 B . 曲线C围成的图形的周长是 $\text{[math]}$ C . 曲线C上的任意两点间的距离不超过5 D . 若 $\text{[math]}$ 是曲线C上任意一点， $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$

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11. 阿波罗尼斯 $\text{[math]}$ 古希腊数学家，约公元前 $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 的著作 $\text{[math]}$ 圆锥曲线论 $\text{[math]}$ 是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C： $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，若圆C上存在点P，使 $\text{[math]}$ 其中O为坐标原点 $\text{[math]}$ ，则t的取值可以是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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12. 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 单调递减 B . 若存在无数个自然数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值不存在 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于A、B两点，C是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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14. 若△ $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ 成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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15. 弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形制原始，.它脱胎于古代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”. 常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正视图即为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对称建立如图所示坐标系， $\text{[math]}$ 恰为左焦点， $\text{[math]}$ 均匀对称分布在上半个椭圆弧上( $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影把线段 $\text{[math]}$ 八等分)， $\text{[math]}$ 为琴弦，记 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 前n项和为 $\text{[math]}$ ，椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为

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16. 已知菱形 $\text{[math]}$ 的各边长为 $\text{[math]}$ ，如图所示，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 的位置，连接 $\text{[math]}$ ，得到三棱锥 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球上运动，且始终保持 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹的周长为.

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四、解答题

17. 设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，并求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前99项和 $\text{[math]}$ .
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18. 矩形ABCD的两条对角线相交于点 $\text{[math]}$ ， AB边所在直线的方程为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在AD边所在直线上.
1. （1）求AD边所在直线的方程；
2. （2）求矩形ABCD外接圆的方程；
3. （3）若点P在矩形ABCD的外接圆上，点D是P在x轴上的投影，Q为PD上一点，且 $\text{[math]}$ .当P在圆上运动时，请写出点Q的轨迹方程（只需写出结果，不用论证）.
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19. 如图1，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，得到图2．
1. （1）在图2中，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一动点，问点 $\text{[math]}$ 在什么位置时，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 中，前n项的和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 最小值.
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21. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，过左焦点F的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于M，N两点，交 $\text{[math]}$ 轴于P点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为C的右焦点）的面积分别为 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 为定值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是左右焦点，且直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为上顶点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，原点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （3）对于任意点 $\text{[math]}$ ，是否存在唯一的直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的斜率，若不存在，请说明理由．
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