云南省经开区2021届高三理数模拟试卷（一）

更新时间：2021-10-22 浏览次数：102 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2019高三上·江西月考) 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ,那么集合 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ (i为虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知共面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .若对每一个确定的向量 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 变化时， $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 4 D . 6

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4. 已知 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的导数，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 有且只有一个根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，（注：若椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ ，则椭圆的面积为 $\text{[math]}$ ．）将该椭圆绕坐标原点逆时针旋转45°后对应曲线的方程设为 $\text{[math]}$ ，那么方程 $\text{[math]}$ 对应的曲线围成的平面区域如图所示，现往曲线 $\text{[math]}$ 围成的平面区域内投放一粒黄豆（大小忽略不计，可抽象为一个点），那么该粒黄豆落在四边形ABCD内的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ ，则在 $\text{[math]}$ 的展开式中，含x项的系数为（）

A . 120 B . -120 C . 0 D . -240

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且只有三个实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面ABC内的动点P，M满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ）组成的三角形，如左下图所示.其中， $\text{[math]}$ .现将 $\text{[math]}$ 沿斜边 $\text{[math]}$ 进行翻折成 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不在平面 $\text{[math]}$ 上）.若 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，则在 $\text{[math]}$ 翻折过程中，下列命题正确的是（）

A . 在线段 $\text{[math]}$ 上存在一定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的长度是定值 B . 点 $\text{[math]}$ 在某个球面上运动 C . 存在某个位置，使得直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ D . 对于任意位置，二面角 $\text{[math]}$ 始终大于二面角 $\text{[math]}$

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10. 已知定义域为正整数集的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前99项和为（）

A . -19799 B . -19797 C . -19795 D . -19793

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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12. 执行如图示的程序框图，输出的S的值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则实数t的取值范围是.

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14. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为不共线的非零向量，且 $\text{[math]}$ ．定义点集 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且不在直线AB上时，若对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数m的最小值是．

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15. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

17. (2019·南通模拟) 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，上部是圆心为 $\text{[math]}$ 的劣弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求图1中拱门最高点到地面的距离；
2. （2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 $\text{[math]}$ 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设 $\text{[math]}$ 与地面水平线 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ．记拱门上的点到地面的最大距离为 $\text{[math]}$ ，试用 $\text{[math]}$ 的函数表示 $\text{[math]}$ ，并求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
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18. 在如图所示的多面体中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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19. “工资条里显红利，个税新政人民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.

新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：

	旧个税税率表(个税起征点3500元)		新个税税率表(个税起征点5000元)
缴税级数	每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点	税率(%)	每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点-专项附加扣除	税率(%)
1	不超过1500元部分	3	不超过3000元部分	3
2	超过1500元至4500元部分	10	超过3000元至12000元部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	超过12000元至25000元的部分	20
4	超过9000元至35000元的部分	25	超过25000元至35000元的部分	25
5	超过35000元至55000元部分	30	超过35000元至55000元部分	30
···	···	···	···	···

随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．

假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：

（1）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；
（2）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？

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20. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于点A，B（A在x轴上方），且 $\text{[math]}$ ．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）．
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q．
  ①求证：直线OQ的斜率为定值；
  
  ②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）设曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且两曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．
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22. 已知在以 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.
1. （1）设曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2）若动点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，在（1）的条件下，试求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 对一切实数 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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