甘肃省2021届第二次高考诊断理数试卷

更新时间：2021-05-20 浏览次数：118 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . -i B . i C . -1 D . 1

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的图象为（）

A . B . C . D .

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4. 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，实轴长为2，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 内一动点，若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 不存在公共点，则三角形 $\text{[math]}$ 的面积的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. 某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：

苗木长度 $\text{[math]}$ (厘米)	38	48	58	68	78	88
售价 $\text{[math]}$ (元)	16.8	18.8	20.8	22.8	24	258.8

由表可知，苗木长度 $\text{[math]}$ (厘米)与售价 $\text{[math]}$ (元)之间存在线性相关关系，回归方程为 $\text{[math]}$ ，则当苗木长度为150厘米时，售价大约为（）

A . 33.3 B . 35.5 C . 38.9 D . 41.5

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7. 数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2021 B . 4041 C . 4042 D . 4043

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为锐角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子·地员篇》的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其 $\text{[math]}$ ，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长 $\text{[math]}$ ，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)，商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为（）

A . 72 B . 48 C . 54 D . 64

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10. 数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 过抛物线 $\text{[math]}$ 焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点分别作抛物线 $\text{[math]}$ 准线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 的长为4，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若经过点 $\text{[math]}$ 存在一条直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 图象和 $\text{[math]}$ 图象都相切，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . -1 C . 3 D . -1或3

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二、填空题

13. 平面内单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

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14. 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 取最大值4时， $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. 孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23…，则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用 $\text{[math]}$ 表示.试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，则这个数最小是.

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16. 三棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是边长为3的正三角形，面 $\text{[math]}$ 垂直底面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值是.

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三、解答题

17. 如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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18. 某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲､乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲､乙两班各40人每天的学习时间(单位：小时)，并将样本数据分成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 五组，整理得到如下频率分布直方图：

参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考数据①：

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的 $\text{[math]}$ 列联表：

	不少于6小时	少于6小时	总计
甲班
乙班
总计

能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？

（2）此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间 $\text{[math]}$ 的概率.

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19. 已知圆 $\text{[math]}$ 经过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线被椭圆 $\text{[math]}$ 截得的弦长为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上异于短轴端点的两点，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试确定直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
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20. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ ，且________，求 $\text{[math]}$ 的面积.(从① $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线，② $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上的动点，满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 的轨迹是 $\text{[math]}$ .
1. （1）以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 的参数方程是 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)，点 $\text{[math]}$ 的直角坐标是 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ 围成区域的面积；
2. （2）若对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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