如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是坐标原点，落在轴非负半轴上，点在第一象限，是扇形弧上的一点，是扇形的内接矩形.

1. (2019高三上·宁波期末) 如图所示，已知 $\text{[math]}$ 是半径为1，圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形， $\text{[math]}$ 是坐标原点， $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴非负半轴上，点 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ 是扇形弧上的一点， $\text{[math]}$ 是扇形的内接矩形.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 是扇形弧上的四等分点（靠近 $\text{[math]}$ ）时，求点 $\text{[math]}$ 的纵坐标；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 在扇形弧上运动时，求矩形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

能力提升真题演练换一批

1. (2022高三上·广州月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列 $\text{[math]}$ （若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，5，7，9，9，11，…．设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求m的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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2. (2024高三上·中山月考) 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力.耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式.某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练.由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第 $\text{[math]}$ 天进行有氧训练，则第 $\text{[math]}$ 天进行有氧训练的概率为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 天进行无氧训练的概率为 $\text{[math]}$ ；若运动员第n天进行无氧训练，则第 $\text{[math]}$ 天进行有氧训练的概率为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 天进行无氧训练的概率为 $\text{[math]}$ .若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等.
1. （1）封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X ，求X的分布列与数学期望；
2. （2）封闭集训期间，记某运动员第n天进行有氧训练的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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3. (2023高三上·河南期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上､下顶点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆内，且直线 $\text{[math]}$ 分别与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2021·天津) 已知 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． $\text{[math]}$ 是公比大于0的等比数列， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ .
  （i）证明 $\text{[math]}$ 是等比数列；
  
  （ii）证明 $\text{[math]}$
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2. (2022·上海) 在椭圆 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
1. （1）若∠AFB $\text{[math]}$ ，求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
3. （3）已知直线BC与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于点P，直线AD与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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3. (2022·新高考Ⅰ卷) 已知点A(2，1)在双曲线 C： $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的斜率；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的面积.
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