高中数学三轮复习（直击痛点）：专题10平面向量“奔驰定理”

更新时间：2024-02-04 浏览次数：7 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2021·佛山模拟) 2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 40 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 80

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2. (2023·吉林模拟) 在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的重心、外心、垂心、内心分別为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ 取最大值时， $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2023高二上·惠州月考) 在一个边长为2的等边三角形 $\text{[math]}$ 中，若点P是平面 $\text{[math]}$ (包括边界)中的任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二上·密山期末) 十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于 $\text{[math]}$ 时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $\text{[math]}$ ；当三角形有一内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，满足若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022·湖南模拟) 在一个边长为2的等边三角形 $\text{[math]}$ 中，若点P是平面 $\text{[math]}$ (包括边界)中的任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -1 D . $\text{[math]}$

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6. (2023高一下·宁波期末) 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于 $\text{[math]}$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $\text{[math]}$ ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 线段上，且满足 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高一下·成都期末) 已知点O是 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. (2023高一下·南山月考) 设M为 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022·安徽模拟) 平面上有 $\text{[math]}$ 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别记作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有关系式 $\text{[math]}$ ．因图形和奔驰车的 $\text{[math]}$ 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足 $\text{[math]}$ ，则O为 $\text{[math]}$ 的（）

A . 外心 B . 内心 C . 重心 D . 垂心

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10. (2017·合肥模拟) 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，P是三角形内部一点，且∠CAP=∠BCP=∠ABP=α，则tanα的值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2016高一下·驻马店期末) 已知O是三角形ABC内部一点，满足 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +m $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则实数m=（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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12. 已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，三角形的重心为G.a $\text{[math]}$ +b $\text{[math]}$ +c $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则∠A=（　　）

A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°

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二、多项选择题

13. (2023高一下·南阳期中) “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 是锐角 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的三个内角，以下命题正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，则 $\text{[math]}$

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14. (2021高一下·张家港期中) 奔驰定理：已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ )的 $\text{[math]}$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 $\text{[math]}$ 是锐角 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三个内角，且点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的垂心 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

15. (2023高一下·成都期末) 已知O是 $\text{[math]}$ 所在平面内一点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积比 $\text{[math]}$ ．

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16. (2023高一下·杭州期中) 已知 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为O， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$

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17. (2021·四川模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内任意一点，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .总有优美等式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：

①若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，则有 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心；

③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

④若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

则正确的命题有.

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四、解答题

18. (2023高三上·西安开学考) 如图， $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一平面内 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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