北京市第四中学 2023-2024学年九年级上学期期中数学试...

更新时间：2024-01-22 浏览次数：37 类型：期中考试

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A . B . C . D .

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2. (2020九上·向阳期末) 如图，△ $\text{[math]}$ 内接于⊙O， $\text{[math]}$ 是⊙O的直径，∠ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .则∠ $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . 36° B . 33° C . 30° D . 27°

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3. 抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数根，则m的最小整数值为（）

A . 1 B . 0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021九上·海淀期末) 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）

A . A，B，C都不在 B . 只有B C . 只有A，C D . A，B，C

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6. 如图，将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转40°得到 $\text{[math]}$ ，点B的对应点D恰好落在边BC上，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . 40° B . 70° C . 80° D . 75°

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7. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线： $\text{[math]}$ . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上三点，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在某次实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 我们规定该实验的“最佳实验数据”x是这样一个数值：x与各数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 差的平方和最小，依此规定，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 如图，AB为 $\text{[math]}$ 的切线，切点为点A ， BO交 $\text{[math]}$ 于点C ，点D在 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 的度数是32°，则 $\text{[math]}$ 的度数是.

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10. 若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于.

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11. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为 $\text{[math]}$ 的切线，若 $\text{[math]}$ 的周长为25，BC的长是9，则 $\text{[math]}$ 的周长是.

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12. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m.

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13. 如右图所示，边长为1的正方形网格中，点O ， A ， B ， C ， D是网格线交点，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在圆的圆心都为点O ，那么阴影部分的面积为.

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14. 某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行甬道，如右图所示，阴影部分为甬道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，则甬道的宽为米.

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15. 抛物线 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的有.
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .

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16. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， B两点，P是以点 $\text{[math]}$ 为圆心，2cm为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ ，则线段OQ的最大值是.

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三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）

17. 用适当的方法解下列方程：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
⑴平移 $\text{[math]}$ ，若点A的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，画出平移后的 $\text{[math]}$ ；
⑵将 $\text{[math]}$ 以点（0，2）为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的 $\text{[math]}$ ；
⑶已知将 $\text{[math]}$ 绕某一点旋转可以得到 $\text{[math]}$ ，则旋转中心的坐标为 ▲ .

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19. 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
2. （2）若等腰 $\text{[math]}$ 的一边长 $\text{[math]}$ ，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的值.
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20. (2021九上·丰南期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求线段 $\text{[math]}$ 的长度．
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21. “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一. 即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积，这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知： $\text{[math]}$ （纸片），其半径为r.
求作：一个正方形，使其面积等于 $\text{[math]}$ 的面积.
作法：①如图1，取 $\text{[math]}$ 的直径AB ，作射线BA ，过点A作AB的垂线l；
②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；
③将纸片 $\text{[math]}$ 沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A ， B分别落在对应的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处：
④取 $\text{[math]}$ 的中点M ，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；
⑤以AE为边作正方形AEFG ，则正方形AEFG即为所求.
根据上述作图步骤，完成下列填空：
1. （1）由①可知，直线l为 $\text{[math]}$ 的切线，其依据是.
2. （2）由②③可知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （用含r的代数式表示）.
3. （3）连接ME ，在 $\text{[math]}$ 中，根据 $\text{[math]}$ ，可计算得 $\text{[math]}$ （用含r的代数式表示）. 由此可得 $\text{[math]}$ .
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22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出y的取值范围；
3. （3）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与直线BC交于点 $\text{[math]}$ . 若 $\text{[math]}$ ，结合函数的图象，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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23. 已知：如图，AB是 $\text{[math]}$ 的弦， $\text{[math]}$ ， C是优弧AB上一点， $\text{[math]}$ ，交CA延长线于点D ，连结BC.
1. （1）求证：BD是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径.
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24. (2023·海淀模拟) 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 和图 $\text{[math]}$ 分别建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ．

通过测量得到球距离台面高度 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 与球距离发球器出口的水平距离 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 的相关数据，如下表所示：
表 $\text{[math]}$ 直发式

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

表 $\text{[math]}$ 间发式

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

根据以上信息，回答问题：

（1）表格中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为 $\text{[math]}$ ， “间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 填“ $\text{[math]}$ ”“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ” $\text{[math]}$ ．

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25. 如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A ， B重合）， $\text{[math]}$ cm，过点C作 $\text{[math]}$ 于点D ， E是CD的中点，连接AE并延长交AB于点F ，连接FD.
小腾根据学习函数的经验，对线段AC ， CD ， FD的长度之间的关系进行了探究.
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
1. （1）对于点C在 $\text{[math]}$ 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC ， CD ， FD的长度的几组值，如下表：
  
  位置1
  位置2
  位置3
  位置4
  位置5
  位置6
  位置7
  位置8
  AC/cm
  0.1
  0.5
  1.0
  1.9
  2.6
  3.2
  4.2
  4.9
  CD/cm
  0.1
  0.5
  1.0
  1.8
  2.2
  2.5
  2.3
  1.0
  FD/cm
  0.2
  1.0
  1.8
  2.8
  3.0
  2.7
  1.8
  0.5
  在AC ， CD ， FD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；
2. （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
3. （3）结合函数图象，解答问题：当 $\text{[math]}$ 时，AC的长度的取值范围是.
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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点B.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 轴，求抛物线的解析式；
2. （2）记抛物线在A ， B之间的部分为图象G（包含A ， B两点），若对于图象G上任意一点 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围.
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27. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为AB上一点，过点D作 $\text{[math]}$ 于点E ，过点D作 $\text{[math]}$ 于点F ， G为直线BC上一点，连接GE ， M为线段GE的中点.连接MD ， MF ，将线段MD绕点M旋转，使点D恰好落在AB边上，记为 $\text{[math]}$ .
1. （1） ①在图1中将图形补充完整；
  ②求 $\text{[math]}$ 的度数.
2. （2）如图2所示， $\text{[math]}$ ，当点G ， M ， $\text{[math]}$ 在一条直线上时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数.
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28. 在平面直角坐标系xOy中， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，对于平面内一点A ，若存在边长为1的等边 $\text{[math]}$ ，满足点B在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则称点A为 $\text{[math]}$ 的“近心点”，点C为 $\text{[math]}$ 的“远心点”.
1. （1）下列各点： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的“近心点”有；
2. （2）设点O与 $\text{[math]}$ 的“远心点”之间的距离为d ，求d的取值范围；
3. （3）直线 $\text{[math]}$ 分别交x ， y轴于点M ， N ，且线段MN上任意一点都是 $\text{[math]}$ 的“近心点”，请直接写出b的取值范围.
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