上海市杨浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

更新时间：2023-08-16 浏览次数：32 类型：期末考试

一、填空题

1. (2019·浦东模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标是．

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2. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数 $\text{[math]}$ 的概率是.

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3. 半径为1厘米的球的表面积为平方厘米.

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4. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 中，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小是.

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5. (2020高二上·娄底期中) 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为.

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6. 以 $\text{[math]}$ 为圆心，且经过 $\text{[math]}$ 的圆的方程是.

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7. 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是.

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8. “若直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上，则直线 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ”是命题（填“真”或“假”）.

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9. 已知一个圆锥的体积为 $\text{[math]}$ ，高为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是.

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10. 已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是独立事件， $\text{[math]}$ ，给出下列式子：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；
其中正确的式子是.（填序号）

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11. 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 的各条棱长都相等，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是该正三棱柱的三条面对角线，直线 $\text{[math]}$ 与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是（写出所有可能的值）.

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ...， $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，其中 $\text{[math]}$ ，对于每个正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为相同的正整数，则 $\text{[math]}$ 的值是.

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二、单选题

13. 在长方体 $\text{[math]}$ 中，与 $\text{[math]}$ 相等的向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 如图，已知球 $\text{[math]}$ 的半径为5，球心 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为3，则平面 $\text{[math]}$ 截球 $\text{[math]}$ 所得的小圆 $\text{[math]}$ 的半径长是（）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 4

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15. 下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.

其中真命题的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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16. 小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（）

A . 80厘米 B . 100厘米 C . 120厘米 D . 140厘米

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三、解答题

17. 设等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求公比 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角大小为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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19. 某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.
1. （1）根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值；
2. （2）通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”.
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20. 如图，正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为1，高为2，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一个动点（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均不重合）.
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点时，求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
3. （3）当平面 $\text{[math]}$ 将正四棱柱 $\text{[math]}$ 分割成体积之比为 $\text{[math]}$ 的两个部分时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.
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21. 如图，已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的一点，顶点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合），若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和为2，直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
3. （3）点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的两个点，圆 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内切圆，过椭圆 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，判断直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的位置关系并证明.
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