福建省漳州市2021届高三数学三模试卷

更新时间：2021-07-28 浏览次数：155 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知i为虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 0

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -4 B . -2 C . 2 D . 4

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4. 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 49 B . 54 C . 102 D . 135

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5. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为 $\text{[math]}$ ，侧面积为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. “墨卡托投影”是由荷兰地图学家墨卡托在1569年拟定，假设地球被围在一个中空圆柱里，其基准纬线与圆柱相切接触，假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅“墨卡托投影”绘制出的地图.在地图上保持方向和角度的正确是“墨卡托投影”的优点，因此，“墨卡托投影”地图常用作航海图和航空图.通过地面上任意两点和地球中心作一平面，平面与地球表面相交看到的圆周就是大圆，两点之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离.沿着这段大圆劣弧线航行时的航线称为“大圆航线”.“大圆航线”转绘到“墨卡托投影”地图上为一条曲线.如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为地球上的两点( $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的正纬度或负纬度， $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的正经度或负经度， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的符号确定规则如下： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 同在北半球或同在南半球时， $\text{[math]}$ ，否则 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 同在东经区或同在西经区时， $\text{[math]}$ ，否则 $\text{[math]}$ )，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为地球中心，已知有下面等式： $\text{[math]}$ .某游轮拟从杭州(北纬 $\text{[math]}$ ，东经 $\text{[math]}$ )沿着大圆航线航行至旧金山(北纬 $\text{[math]}$ ，西经 $\text{[math]}$ )，则大圆航程约为（）(大圆圆心角1度所对应的弧长约为 $\text{[math]}$ )参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一个交点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 8 B . 6 C . 4 D . 2

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8. 漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾､生津止渴､消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间 $\text{[math]}$ (单位：小时)与失去的新鲜度 $\text{[math]}$ 满足函数关系 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数.已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据： $\text{[math]}$ )（）

A . 20小时 B . 25小时 C . 28小时 D . 35小时

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二、多选题

9. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 已知正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第 $\text{[math]}$ 项的系数为 $\text{[math]}$ ，二项式系数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 B . 数列 $\text{[math]}$ 的所有项之和为729 C . 数列 $\text{[math]}$ 是等差数列 D . 数列 $\text{[math]}$ 的最大项为20

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12. 已知 $\text{[math]}$ 的三个内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是钝角三角形 B . $\text{[math]}$ C . 角 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . 角 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 写出曲线 $\text{[math]}$ 的一条切线方程：.

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14. 根据下面的数据：

$\text{[math]}$

1

2

3

4

$\text{[math]}$

32

48

72

88

求得 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为.(注：残差是指实际观察值与估计值之间的差.)

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15. 在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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16. 设动圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，则圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为﹔若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 所截得的弦长为定值，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. 已知有一系列双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .记第 $\text{[math]}$ 条双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 是正三棱锥， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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20. 为全面推进学校素质教育，推动学校体育科学发展，引导学生积极主动参与体育锻炼，促进学生健康成长，从2021年开始，参加漳州市初中毕业和高中阶段学校考试的初中毕业生，体育中考成绩以分数(满分40分计入中考总分)和等级作为高中阶段学校招生投档录取依据.考试由必考类､抽考类､抽选考类三部分组成，必考类是由笔试体育保健知识(分值4分)，男生1000米跑､女生800米跑(分值15分)组成；抽考类是篮球､足球､排球，由市教育局从这三项技能中抽选一项考试(分值5分)；抽选考类是立定跳远､1分钟跳绳､引体向上(男)､斜身引体(女)､双手头上前掷实心球､1分钟仰卧起坐，由市教育局随机抽选其中三项，考生再从这三个项目中自选两项考试，每项8分，已知今年教育局已抽选确定：抽考类选考篮球，抽选考类选考立定跳远､1分钟跳绳､双手头上前掷实心球这三个项目，甲校随机抽取了100名本校初三男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图．
1. （1）若漳州市初三男生的立定跳远成绩 $\text{[math]}$ (单位：厘米)服从正态分布 $\text{[math]}$ ，并用上面样本数据的平均值和标准差的估计值分别作为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，已计算得上面样本的标准差的估计值为 $\text{[math]}$ (各组数据用中点值代替)，在漳州市2021届所有初三男生中任意选取3人，记立定跳远成绩在231厘米以上(含231厘米)的人数为 $\text{[math]}$ ，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和期望．
2. （2）已知乙校初三男生有200名，男生立定跳远成绩在250厘米以上(含250厘米)得满分．
  （i）若认为乙校初三男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计乙校初三男生立定跳远得满分的人数(结果保留整数)；
  
  （ii）事实上，（i）中的估计值与乙校实际情况差异较大，请从统计学的角度分析这个差异性．(至少写出两点)
  
  附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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21. 已知复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若过 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .证明：
  （i）点 $\text{[math]}$ 在定直线上；
  
  （ii）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
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22. (2021高二下·江苏月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有两个零点.
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