理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=

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1. (2018·博野模拟) 理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= $\text{[math]}$ ．tanD=tan15°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= $\text{[math]}$ ．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
1. （1）类比：求出tan75°的值；
3. （2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
5. （3）拓展：如图3，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．

能力提升真题演练换一批

1. (2022·雅安) 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元.
1. （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
2. （2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式.
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2. (2022·石家庄模拟) 如图1是一个手机支架的截面图，由底座MN、连杆 $\text{[math]}$ 和托架组成， $\text{[math]}$ ， BC可以绕点B自由转动，CD的长度可以进行伸缩调节，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图2，若AB，BC在同条直线上， $\text{[math]}$ ，求点D到底座MN的距离（结果保留整数）；
2. （2）如图3，调节CD长度为12cm，并转动连杆BC使 $\text{[math]}$ 时，达到最佳视觉状态，求∠ABC的度数．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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3. (2022·平遥模拟) 综合与实践
问题情境：在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
1. （1）操作发现：如图①，当 $\text{[math]}$ 时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
  ① $\text{[math]}$ 的度数为 ▲ ；
  ②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
2. （2）探究证明：如图2，当 $\text{[math]}$ 时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
  ①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
  ②若 $\text{[math]}$ ，在点D的运动过程中，当 $\text{[math]}$ 的形状为等腰三角形时，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2022·嘉兴) 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
1. （1）连结DE，求线段DE的长．
2. （2）求点A，B之间的距离．
  （结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
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2. (2022·泰安) 正方形 $\text{[math]}$ 中，P为 $\text{[math]}$ 边上任一点， $\text{[math]}$ 于E，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于G，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的长．
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3. (2021·绥化) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若弦 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径；
3. （3）在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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