如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从

1. 如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′= $\text{[math]}$ ，cos22°37′= $\text{[math]}$ ，tan22°37′= $\text{[math]}$ ）
1. （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
3. （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC= $\text{[math]}$ （冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
  如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
  方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
  方案②：在线段上AP任取一点M；设AM=x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
  方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC= $\text{[math]}$ 计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．

能力提升真题演练换一批

1. 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
2. （2）如图2，若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点．当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，求出 $\text{[math]}$ 的度数，并判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，说明理由；
3. （3）如图3，若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，试用含 $\text{[math]}$ 的式子表示出 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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2. (2022九下·吉林月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的中线，分别过点C，点D作 $\text{[math]}$ 的平行线交于E点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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3. 如图1，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）将线段 $\text{[math]}$ 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 $\text{[math]}$ ，得到对应线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
  ①如图2，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在反比例函数图象上时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交反比例函数图象于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
  ②在线段 $\text{[math]}$ 运动过程中，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是直角三角形，求所有满足条件的 $\text{[math]}$ 值．
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1. (2022·四川) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）求点P的坐标；
3. （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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2. (2022·丹东) 已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
3. （3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝ $\text{[math]}$ ， ∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
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3. (2021·黑龙江) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在x轴上， $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 的长是方程 $\text{[math]}$ 的根，过点B作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为E， $\text{[math]}$ ，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段 $\text{[math]}$ 向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，点C在线段 $\text{[math]}$ 上，设正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S，点M的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．
1. （1）求点B的坐标；
2. （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
3. （3）当点F落在线段 $\text{[math]}$ 上时，坐标平面内是否存在一点P，使以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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