如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，其顶点为D ，连接AD ，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．

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1. (2023九上·咸宁期中) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，其顶点为D ，连接AD ，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
1. （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
3. （2）如图，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点E ，连接AE ，求 $\text{[math]}$ 面积S的最大值；
5. （3）抛物线上是否存在一点Q ，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

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