如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．

1. (2017·赤峰)
如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
1. （1）求证：AM是⊙O的切线；
3. （2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

能力提升真题演练换一批

1. (2021·金华) 已知：如图，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ .
1. （1）求矩形对角线的长.
2. （2）过O作 $\text{[math]}$ 于点E，连结BE.记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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2. (2023·柳南模拟) 如图，已知抛物线的图像经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，顶点坐标 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交对称轴于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的一个动点，位于直线 $\text{[math]}$ 的上方（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合），过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点；
  ①设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形时，求 $\text{[math]}$ 的值；
  ②在①的条件下，抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 坐标；若不存在，请说明理由.
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3. (2022·冠县模拟) 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE．
1. （1）求证：∠CAD＝∠CAB；
2. （2）若EC＝4，sin∠CAD $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径．
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1. (2022·云南) 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°
1. （1）求证：四边形ABDF是矩形；
2. （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
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2. (2022·重庆) 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象相交于点A(1，m)．B(n，-2)．
1. （1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
2. （2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b> $\text{[math]}$ 的解集：
3. （3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．
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3. (2021·达州) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
（观察与猜想）
1. （1）如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；
2. （2）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；
3. （3）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
4. （4）如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
  
  ①求 $\text{[math]}$ 的值；
  
  ②连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度.
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