如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．

1. (2017·河池) 如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
1. （1）求证：∠FEB=∠ECF；
3. （2）若BC=6，DE=4，求EF的长．

能力提升真题演练换一批

1. (2021·苏州模拟) 如果三角形的两个内角 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
2. （2）如图（1）， $\text{[math]}$ 是半圆的直径， $\text{[math]}$ 是半圆上的点，D是 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E.
  ①若D是 $\text{[math]}$ 的中点，则图中共有 ▲ 个“准互余三角形”；
  
  ②当 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”时，求 $\text{[math]}$ 的长；
  
  ③如图（2）所示，若F是 $\text{[math]}$ 上的点（不与 $\text{[math]}$ 重合），G为射线 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”时，求 $\text{[math]}$ 的长.
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2. (2023·南岗模拟) 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别切 $\text{[math]}$ 于点B和C，D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点K，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图3，在（2）的条件下，过D的切线分别交 $\text{[math]}$ 于点E，F，作直径 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当F是 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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3. (2023·柳南模拟) 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）将 $\text{[math]}$ 向下平移2个单位后得到 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为；
2. （2）将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到 $\text{[math]}$ ，请在图中作出 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的旋转过程中，求线段 $\text{[math]}$ 扫过的图形的面积.
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1. (2021·盐城) 学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $\text{[math]}$ 绕着某定点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转一定的角度 $\text{[math]}$ ，能得到一个新的点 $\text{[math]}$ .经过进一步探究，小明发现，当上述点 $\text{[math]}$ 在某函数图象上运动时，点 $\text{[math]}$ 也随之运动，并且点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形.
试根据下列各题中所给的定点 $\text{[math]}$ 的坐标和角度 $\text{[math]}$ 的大小来解决相关问题.
1. （1）（初步感知）
  如图1，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是一次函数 $\text{[math]}$ 图像上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $\text{[math]}$ .
  
  点 $\text{[math]}$ 旋转后，得到的点 $\text{[math]}$ 的坐标为；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹经过点 $\text{[math]}$ ，求原一次函数的表达式.
3. （3）（深入感悟）
  如图2，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
4. （4）（灵活运用）
  如图3，设A $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是二次函数 $\text{[math]}$ 图像上的动点，已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由.
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2. (2022·海南) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，并交x轴于另一点B，点 $\text{[math]}$ 在第一象限的抛物线上， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点D.
1. （1）求该抛物线的函数表达式；
2. （2）当点P的坐标为 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）点Q在抛物线上，当 $\text{[math]}$ 的值最大且 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求点Q的横坐标；
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3. (2020·台州) 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.
1. （1）求证：△ABD≌△ACE；
2. （2）判断△BOC的形状，并说明理由.
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