如图，AB=16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合），将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270°后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧 CD 于点 P，Q，且点 P，Q 在 AB 两侧，连接 OP．

1. (2019九上·台州期末) 如图，AB=16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合），将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270°后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧 CD 于点 P，Q，且点 P，Q 在 AB 两侧，连接 OP．
1. （1）求证：AP=BQ；
3. （2）当 BQ =4 $\text{[math]}$ 时，求优弧 QD 的长（结果保留 π）；
5. （3）若△APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围．

能力提升真题演练换一批

1. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
1. （1）求证：△ADF∽△DEC：
2. （2）若AB=4，AD=3 $\text{[math]}$ ，AE=3，求AF的长．
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2. (2021九上·亭湖月考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
1. （1）在图中利用直尺画出△ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为　　；
2. （2）求△ABC外接圆的面积；
3. （3）若点E的坐标（6，0），点E在△ABC外接圆（填“圆内”“圆上“或“圆外”）
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3. (2021九上·北京月考) 已知：如图， $\text{[math]}$ ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．

求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= $\text{[math]}$ ．

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
1. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
2. （2）完成下面的证明．
  证明：∵CD∥AB，
  
  ∴∠ABP=．
  
  ∵AB=AC，
  
  ∴点B在⊙A上．
  
  又∵∠BPC= $\text{[math]}$ ∠BAC（）（填推理依据）
  
  ∴∠ABP= $\text{[math]}$ ∠BAC
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1. (2019·云南) 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
1. （1）求证：四边形ABCD是矩形；
2. （2）若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.
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2. (2021·宁波) 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\text{[math]}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点 $\text{[math]}$ 的位置，且A，B， $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ ，B为 $\text{[math]}$ 中点，当 $\text{[math]}$ 时，伞完全张开.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长.
2. （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.（参考数据： $\text{[math]}$ ）
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3. (2021·张家界) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴交于原点及点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求二次函数的表达式；
2. （2）求顶点 $\text{[math]}$ 的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的表达式；
3. （3）判断 $\text{[math]}$ 的形状，试说明理由；
4. （4）若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，一动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 匀速运动到点 $\text{[math]}$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 匀速运动到点 $\text{[math]}$ 后停止运动，求点 $\text{[math]}$ 的运动时间 $\text{[math]}$ 的最小值.
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