重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期数学2月质...

更新时间：2024-04-28 浏览次数：1 类型：月考试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 直线 $\text{[math]}$ 经过两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角是直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角的 $\text{[math]}$ 倍，则 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 作斜率小于 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 与准线交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的动点，线段 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的一条动弦，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与抛物线分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积的倒数的平方和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 一次函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，函数图象经过一、二、三象限 B . 当 $\text{[math]}$ 时，函数图象经过一、三、四象限 C . $\text{[math]}$ 时，函数图象必经过一、三象限 D . $\text{[math]}$ 时，函数在实数 $\text{[math]}$ 上恒为增函数

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点到直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的距离相等，则实数 $\text{[math]}$ 的值可能等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长为 $\text{[math]}$ ，过双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 且斜率不为零的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 双曲线的标准方程为 $\text{[math]}$ B . 若直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依次从左到右排列，则存在直线 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点 D . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的交点坐标是．

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13. 双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 圆锥曲线 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ 与过弦的端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两条切线的交点 $\text{[math]}$ 所围成的三角形 $\text{[math]}$ 叫做阿基米德三角形，若曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于 $\text{[math]}$ 的阿基米德三角形 $\text{[math]}$ 给出下列结论：
$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上；
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ，
其中所有正确结论的序号为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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16. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 平面角的余弦值．
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17. 欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点 $\text{[math]}$ 现有椭圆 $\text{[math]}$ ，长轴长为 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 发出的一条光线，经 $\text{[math]}$ 内壁上一点 $\text{[math]}$ 反射后恰好与 $\text{[math]}$ 轴垂直，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ ，若斜率不为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均异于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上，求 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 距离的最大值．
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18. 已知平面内的动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是阿波罗尼斯圆 $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 与两定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之比 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是一个常数 $\text{[math]}$ ，其方程为 $\text{[math]}$ ，定点分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 与右顶点 $\text{[math]}$ ，且椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴长为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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19. $\text{[math]}$ 瀑布 $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$ 是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲 $\text{[math]}$ 此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己 $\text{[math]}$ 画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体” $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为 $\text{[math]}$ ，定义正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将极点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别与正方形 $\text{[math]}$ 的顶点连线，取其中点记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$ 埃舍尔多面体可视部分是由 $\text{[math]}$ 个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图 $\text{[math]}$ 我们构造了其中两个四棱锥 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$
1. （1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成角余弦值；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角正弦值；
3. （3）求埃舍尔体的表面积与体积 $\text{[math]}$ 直接写出答案 $\text{[math]}$ ．
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