广东省深圳市2024届高三第一次调研考试数学试卷

更新时间：2024-03-19 浏览次数：101 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若角 $\text{[math]}$ 的终边过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的偶函数，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，且对任意 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ 成立，则下列函数中符合条件的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ 是夹角为120°的两个单位向量，若向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 34 B . 33 C . 32 D . 30

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6. 已知某圆台的上、下底面半径分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则 $\text{[math]}$ （）

A . 624 B . 625 C . 626 D . 650

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线 $\text{[math]}$ 的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，且双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（）

A . 众数为12 B . 平均数为14 C . 中位数为14.5 D . 第85百分位数为16

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10. 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列关系式可能成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，八面体 $\text{[math]}$ 的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点 $\text{[math]}$ 在同一个平面内．若点 $\text{[math]}$ 在四边形 $\text{[math]}$ 内（包含边界）运动， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时，开面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离可能为 $\text{[math]}$ D . 存在一个体积为 $\text{[math]}$ 的圆柱体可整体放入 $\text{[math]}$ 内

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 若函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，其图像关于点 $\text{[math]}$ 中心对称，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 设点 $\text{[math]}$ ，若动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，设曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处切线的斜率为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 均不相等，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为等差数列．
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等差数列；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，集合 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ （用列举法表示）．
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16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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17. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节。每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 $\text{[math]}$ ．假设每次㑑黒的传输相互独立．
1. （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 $\text{[math]}$ ，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 中任意相邻的数字均不相同时，令 $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 的极值点个数；
3. （3）当函数 $\text{[math]}$ 无极值点时，求证： $\text{[math]}$ ．
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19. 已知动点 $\text{[math]}$ 与定点 $\text{[math]}$ 的距离和 $\text{[math]}$ 到定直线 $\text{[math]}$ 的距离的比为常数 $\text{[math]}$ ．其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程，并说明轨迹的形状；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ ，若曲线 $\text{[math]}$ 上两动点 $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 轴上方， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的周长均为定值；
  （ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，其内切圆半径为 $\text{[math]}$ ，试探究是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立？若存在，求 $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ 表示）；若不存在，请说明理由．
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