一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
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2.
已知集合
, 则
( )
-
3.
已知向量
,
, 则向量
在向量
上的投影向量为( )
-
-
5.
设等比数列
的前
项和为
, 若
, 则
等于( )
-
6.
(2022高一上·赣州月考)
在流行病学中,每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时,每个感染者平均会感染一个以上的人,从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时,疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本传染数为
, 1个感染者平均会接触到
个新人
, 这
人中有
个人接种过疫苗(
称为接种率),那么1个感染者可传染的新感染人数为
. 已知某病毒在某地的基本传染数
, 为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为( )
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7.
在四棱锥
中,棱长为2的侧棱
垂直底面边长为2的正方形
,
为棱
的中点,过直线
的平面
分别与侧棱
、
相交于点
、
, 当
时,截面
的面积为( )
A . 2
B . 3
C .
D .
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8.
已知椭圆
与双曲线
具有相同的左、右焦点
,
, 点
为它们在第一象限的交点,动点
在曲线
上,若记曲线
,
的离心率分别为
,
, 满足
, 且直线
与
轴的交点的坐标为
, 则
的最大值为( )
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
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14.
已知
的展开式中,唯有
的系数最大,则
的系数和为
.
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15.
如图,已知正三棱柱
的底面边长为1cm,高为5cm,一质点自
点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
点的最短路线的长为
.
-
16.
已知函数
, 当
时,
的取值范围为
, 则实数
的取值范围是
.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
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-
-
(1)
求
的单调区间.
-
(2)
在
中,
,
,
的对边分别为
,
,
,当
,
,
,求
的面积.
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19.
如图,在四棱锥
中,侧面
是边长为
的正三角形且与底面垂直,底面
是菱形,且
,
为棱
上的动点,且
.
-
(1)
求证:
为直角三角形;
-
(2)
试确定
的值,使得平面
与平面
夹角的余弦值为
.
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20.
为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情,某校举办了“我爱古诗词”对抗赛,在每轮对抗赛中,高二年级胜高三年级的概率为
, 高一年级胜高三年级的概率为
, 且每轮对抗赛的成绩互不影响.
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(1)
若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛,求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率;
-
(2)
若高一年级与高三年级进行对抗,高一年级胜2轮就停止,否则开始新一轮对抗,但对抗不超过5轮,求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.
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21.
已知直线
与圆
交于
,
两点,过点
的直线
与圆
交于
,
两点.
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(2)
已知点
, 在直线
上(
为圆心),存在定点
(异于点
),满足:对于圆
上任一点
, 都有
为同一常数,试求所有满足条件的点
的坐标及该常数.
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22.
设函数
.
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(1)
求函数
的单调区间;
-
(2)
若函数
有两个不同的零点
,
,
为
的导函数,求证:
.